2.1 Rekenen [1] - Willem

2.1 Bewerkingen [1]
Video – Geschiedenis van het rekenen
(http://www.youtube.com/watch?v=CceQwWJ6vrs)
15 x 3 = 45
15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product.
15 : 3 = 5
15 : 3 is een quotiënt.
15 en 3 zijn de factoren van het quotiënt.
15 + 3 = 18
15 + 3 is een som.
15 en 3 zijn de termen van de som.
15 – 3 = 12
15 – 3 is een verschil. 15 en 3 zijn de termen van het verschil.
Willem-Jan van der Zanden
1
2.1 Bewerkingen [2]
Voorbeeld 1:
5x2+3=
10 + 3 = 13
Eerst vermenigvuldigen dan optellen/aftrekken.
Voorbeeld 2:
6:2x7=
3 x 7 = 21
Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.
Voorbeeld 3:
6x2+5x3+6=
12 + 15 + 6 =
27 + 6 = 33
Optellen en aftrekken van links naar rechts.
Willem-Jan van der Zanden
2
2.1 Bewerkingen [2]
Voorbeeld 4:
6 x (2 + 5) x 3 + 6 =
6x7x3+6=
42 x 3 + 6 =
126 + 6 = 132
Eerst haakjes wegwerken, dan vermenigvuldigen/delen en dan
optellen en aftrekken.
Volgorde bij berekeningen:
1) Haakjes wegwerken
2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
3) Optellen en aftrekken van links naar rechts
Let op:
Schrijf ALLE stappen ONDER elkaar
Willem-Jan van der Zanden
3
2.1 Bewerkingen [2]
Voorbeeld 5:
96 : 16 + (20 – 12) x 3 – 18 : (30 – 21) =
96 : 16 + 8 x 3 – 18 : 9 =
6 + 24 – 2 =
30 – 2 = 28
[Haakjes wegwerken]
[Vermenigvuldigen/
delen]
[Optellen/aftrekken van
links naar rechts]
Willem-Jan van der Zanden
4
2.2 De ggd en het kgv [1]
Voorbeeld 1:
Door welke getallen kun je 15 delen zodat de uitkomst een geheel getal
is?
15 kun je delen door 1, 3, 5 en 15.
Deze 4 getallen zijn de delers van 15.
Voorbeeld 2:
Door welke getallen kun je 17 delen zodat de uitkomst een geheel getal
is?
17 kun je delen door 1 en 17.
Een getal dat alleen door 1 en zichzelf gedeeld kan worden is een
priemgetal.
We werken hier steeds met gehele niet-negatieve getallen. Dit zijn
de natuurlijke getallen.
Willem-Jan van der Zanden
5
2.2 De ggd en het kgv [1]
Voorbeeld 3:
Is 18 een priemgetal?
18 kun je ook door 6 (2, 3, 9) delen en is dus geen priemgetal.
Voorbeeld 4:
45 = 5 x 9 = 5 x 3 x 3
3 en 5 zijn priemgetallen.
5 x 3 x 3 is een product van priemfactoren.
Willem-Jan van der Zanden
6
2.2 De ggd en het kgv [2]
Voorbeeld 1:
De delers van 15 zijn 1, 3, 5 en 15.
De delers van 25 zijn 1, 5 en 25.
De gemeenschappelijke delers van 15 en 25 zijn 1 en 5.
De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van 15 en 25 is 5.
Voorbeeld 2:
De veelvouden van 15 zijn 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150,…
De veelvouden van 25 zijn 25, 50, 75, 100, 125, 150,…
De gemeenschappelijke veelvouden van 15 en 25 zijn 75, 150,…
Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van 15 en 25 is 75.
Willem-Jan van der Zanden
7
2.2 De ggd en het kgv [3]
De grootste gemene deler (ggd) en het kleinste gemeenschappelijke
veelvoud (kgv) zijn ook op de volgende manier te berekenen:
Voorbeeld: Bereken de ggd en kgv van 60 en 24
Stap 1: Schrijf beide getallen als een product van priemfactoren:
60 = 6 x 10 = 2 x 3 x 2 x 5 = 2 x 2 x 3 x 5
24 = 2 x 12 = 2 x 2 x 6 = 2 x 2 x 2 x 3
Stap 2: De ggd kun je vinden door de gemeenschappelijke priemfactoren
van beide getallen te vermenigvuldigen:
ggd = 2 x 2 x 3 = 12
Stap 3: De kgv kun je vinden door de priemfactoren van 60 te nemen en
deze te vermenigvuldigen met de priemfactoren van 24 die je nog niet
hebt gehad:
kgv = 2 x 2 x 3 x 5 x 2 = 120
Willem-Jan van der Zanden
8
2.3 Breuken [1]
2
3
is een breuk. 2 is de teller en 3 is de noemer.
Voorbeeld 1:
4
6
kun je ook schrijven als
2
3
Voorbeeld 2:
10
9
kun je ook schrijven als 1 19
Rekenregels bij breuken:
• Vereenvoudig breuken zo veel mogelijk;
• Haal bij breuken altijd de helen eruit.
Willem-Jan van der Zanden
9
2.3 Breuken [2]
3
2
en
hebben dezelfde noemer. Deze breuken zijn gelijknamig.
7
7
4 en 2 hebben niet dezelfde noemer. Deze breuken zijn niet gelijknamig.
6
5
Voorbeeld 1:
3 2 5
 
7 7 7
Gelijknamige breuken kun je meteen optellen
Voorbeeld 2:
4 2
 
6 5
20 12 32
2
1


1 1
30 30 30
30
15
Niet gelijknamige breuken moet je
eerst gelijknamig maken, voordat
je ze op kunt tellen.
Vereenvoudig uitkomst en haal
helen eruit.
Willem-Jan van der Zanden
10
2.3 Breuken [2]
Voorbeeld 3:
4 3
1 

5 10
9 3


5 10
18 3


10 10
15 3
1
 1
10 2
2
Werk (als dat handig is) de helen weg.
Neem als noemer het kgv van 5 en 10.
Dan heb je altijd een “zo klein mogelijke noemer”.
Deel teller en noemer door de ggd van
de teller en noemer. Teller en noemer moeten na de
deling allebei een geheel getal zijn en niet nogmaals
gedeeld kunnen worden.
Willem-Jan van der Zanden
11
2.3 Breuken [3]
Voorbeeld 1:
4 2 4x2 8
x 

5 3 5x3 15
Als je twee breuken met elkaar vermenigvuldigd moet je de tellers en
de noemers van beide breuken met elkaar vermenigvuldigen.
Voorbeeld 2 (Eerst vermenigvuldigen en dan vereenvoudigen):
3 3
1 x 
5 4
8 3
x 
5 4
24
4
1
1 1
20
20
5
Werk eerst de helen weg en vermenigvuldig dan.
Als je twee breuken vermenigvuldigd hoeven de
noemers van beide breuken NIET gelijk te zijn.
Haal bij het antwoord de helen er weer uit en
vereenvoudig zoveel als mogelijk.
Willem-Jan van der Zanden
12
2.3 Breuken [3]
Voorbeeld 2 (Eerst vereenvoudigen en dan vermenigvuldigen):
3 3
1 x 
5 4
8 3
x 
5 4
2 3
x 
5 1
6
1
1
5
5
Werk eerst de helen weg en vereenvoudig dan.
Als je twee breuken vermenigvuldigd hoeven de
noemers van beide breuken NIET gelijk te zijn.
Haal bij het antwoord de helen er weer uit.
Willem-Jan van der Zanden
13
2.3 Breuken [3]
Voorbeeld 3 (Eerst vermenigvuldigen en dan vereenvoudigen):
4

9
3 4
x 
1 9
12
3
1
1 1
9
9
3
3x
Schrijf 3 als een breuk en los de som dan verder op.
Voorbeeld 3 (Eerst vereenvoudigen en dan vermenigvuldigen):
4

9
3 4
x 
1 9
1 4
x 
1 3
4
1
1
3
3
3x
Schrijf 3 als een breuk en los de som dan verder op.
Willem-Jan van der Zanden
14
2.4 Negatieve getallen [1]
Positieve getallen zijn getallen groter dan 0 en liggen rechts van 0 op de
getallenlijn
Negatieve getallen zijn getallen kleiner dan 0 en liggen links van 0 op de
getallenlijn
< betekent kleiner dan
> betekent groter dan
Voorbeeld:
4 < 5 want 4 ligt links van 5 op de getallenlijn;
-3,4 < -3,3 want -3,4 ligt links van -3,3 op de getallenlijn.
Willem-Jan van der Zanden
15
2.4 Negatieve getallen [2]
Volgorde bij berekeningen:
1) Haakjes wegwerken
2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
3) Optellen en aftrekken van links naar rechts
Let op:
Schrijf ALLE stappen ONDER elkaar
Willem-Jan van der Zanden
16
2.5 Negatieve getallen optellen en aftrekken [1]
Voorbeeld 1:
13 + 3 = 16
13 + 2 = 15
13 + 1 = 14
13 + 0 = 13
13 + -1 = 12
13 + -2 = 11
13 + -3 = 10
+- is hetzelfde als –
Voorbeeld 2:
-23 – (16 + - 9) =
-23 – (16 – 9) =
-23 – 7 = -30
Willem-Jan van der Zanden
17
2.5 Negatieve getallen optellen en aftrekken [1]
Voorbeeld 3:
13 – 3 = 10
13 – 2 = 11
13 – 1 = 12
13 – 0 = 13
13 - -1 = 14
13 - -2 = 15
13 - -3 = 16
- - is hetzelfde als +
Voorbeeld 4:
5 – (- 3 - 2 – (5 – 9)) =
5 – (- 3 - 2 - -4) =
5 – (- 3 – 2 + 4) =
5 – (-5 + 4) =
5 - -1 =
5+1=6
Willem-Jan van der Zanden
18
2.6 Assenstelsels [1]
Het tekenen van een assenstelsel
Stap 1:
Kies de plaats
van de oorsprong
en teken de horizontale x-as
Let op:
• Kies de oorsprong zo dat je
voldoende ruimte hebt;
• Meestal is een x-as met
een lengte van 10 cm genoeg.
Willem-Jan van der Zanden
19
2.6 Assenstelsels [1]
Het tekenen van een assenstelsel
Stap 2:
Teken de verticale y-as
Let op:
• Meestal is een y-as met
een lengte van 10 cm genoeg.
Willem-Jan van der Zanden
20
2.6 Assenstelsels [1]
Het tekenen van een assenstelsel
Stap 3:
Zet getallen bij de x-as en y-as.
Stap 4:
Zet O bij de oorsprong, x-as bij
de horizontale as en y-as bij
de verticale as.
Willem-Jan van der Zanden
21
2.6 Assenstelsels [1]
Het tekenen van een assenstelsel
Elk punt in het assenstelsel
heeft één naam: Bv. A(1, 2)
Dit is het punt A met
x-coördinaat 1 en
y-coördinaat 2.
Bij een roosterpunt zijn de
x-coördinaat en de
y-coördinaat allebei een geheel
getal.
Punt A is dus een roosterpunt.
Willem-Jan van der Zanden
22
2.6 Assenstelsels [1]
Het tekenen van een assenstelsel
Elk punt in het assenstelsel
heeft één naam: Bv. A(1, 2)
Dit is het punt A met
x-coördinaat 1 en
y-coördinaat 2.
Bij een roosterpunt zijn de
x-coördinaat en de
y-coördinaat allebei een geheel
getal.
Punt A is dus een roosterpunt.
Willem-Jan van der Zanden
23
2.6 Assenstelsels [2]
Voorbeeld 1:
De top van de eerste driehoek is het punt (1,2)
De top van de tweede driehoek is het punt (3,3)
De top van de derde driehoek is het punt (5,4)
De x-coördinaat wordt elke keer 2 groter.
De y-coördinaat wordt elke keer 1 groter.
Willem-Jan van der Zanden
24
2.6 Assenstelsels [2]
De top van de vierde driehoek is het punt (7, 5)
De top van de vijfde driehoek wordt nu (9,6)
De top van de zesde driehoek wordt nu (11,7) etc.
Voor de top van de tiende driehoek geldt nu:
x-coördinaat is 11 + 4 x 2 = 11 + 8 = 19
y-coördinaat is 7 + 4 x 1 = 7 + 4 = 11
Willem-Jan van der Zanden
25
2.6 Assenstelsels [2]
Voorbeeld 2:
Kleur in een assenstelsel alle roosterpunten waarvan de y-coördinaat tussen
-3 en 2 is en de x-coördinaat tussen -1 en 3 ligt blauw.
Stap 1:
Teken een assenstelsel.
Willem-Jan van der Zanden
26
2.6 Assenstelsels [2]
Voorbeeld 2:
Kleur in een assenstelsel alle roosterpunten waarvan de y-coördinaat tussen
-3 en 2 is en de x-coördinaat tussen -1 en 3 ligt blauw.
Stap 2:
Trek een horizontale
lijn bij y = -3 en y = 2.
Trek een verticale lijn
bij x = -1 en x = 3.
Willem-Jan van der Zanden
27
2.6 Assenstelsels [2]
Voorbeeld 2:
Kleur in een assenstelsel alle roosterpunten waarvan de y-coördinaat tussen
-3 en 2 is en de x-coördinaat tussen -1 en 3 ligt blauw.
Stap 3:
Kleur alle roosterpunten
blauw.
Let op:
Roosterpunten met een
x-coördinaat van -1 en 3
doen niet mee.
Roosterpunten met een
y-coördinaat van -3 en 2
doen niet mee.
Willem-Jan van der Zanden
28
2.6 Assenstelsels [3]
Een assenstelsel bestaat uit vier kwadranten:
• Het eerste kwadrant ligt rechtsboven
• Het tweede kwadrant ligt linksboven
• Het derde kwadrant ligt linksonder
• Het vierde kwadrant ligt rechtsonder
Let op: De assen horen niet bij de kwadranten.
Willem-Jan van der Zanden
29
2.6 Assenstelsels [3]
Voorbeeld 1:
Door welke kwadranten gaat de lijn die door de punten A(-3, 4) en B (-1, 2) gaat.
Stap 1:
Teken een assenstelsel
met de punten A en B.
Willem-Jan van der Zanden
30
2.6 Assenstelsels [3]
Voorbeeld 1:
Door welke kwadranten gaat de lijn die door de punten A(-3, 4) en B (-1, 2) gaat.
Stap 2:
Trek een lijn door de
punten A en B.
Deze lijn gaat door
de kwadranten
II, I en IV.
Willem-Jan van der Zanden
31
2.6 Assenstelsels [3]
Voorbeeld 2:
De cirkel met middelpunt M(-4, -3) ligt helemaal in twee kwadranten.
Stap 1:
Teken een assenstelsel
met het punt M.
Stap 2:
Teken de cirkel met
middelpunt M en straal 3.
Deze cirkel ligt geheel in
kwadrant III. Wanneer
de straal groter wordt dan
3 ligt de cirkel in twee
kwadranten (II en III).
Willem-Jan van der Zanden
32
2.6 Assenstelsels [4]
Voorbeeld 2:
De cirkel met middelpunt M(-4, -3) ligt helemaal in twee kwadranten.
Stap 3:
Teken ook de cirkel
met middelpunt M en
straal 4.
Deze cirkel ligt geheel in
kwadrant II en III. Als
de straal groter wordt
dan 4 ligt de cirkel in
drie kwadranten (I, II
en III).
De straal moet dus groter
dan 3 zijn.
De straal moet ook 4 of
kleiner zijn.
Willem-Jan van der Zanden
33
2 Samenvatting
Een product (x) en quotiënt (/) hebben factoren;
Een som (+) en verschil (-) hebben termen.
Een deler zijn alle getallen waardoor je een getal kunt delen en dan een gehele
uitkomst krijgt;
Een priemgetal is enkel deelbaar door 1 en zichzelf;
Elk getal kan als een product van priemfactoren geschreven worden.
Het grootste getal waardoor een aantal getallen deelbaar is, is de ggd;
Het kleinste veelvoud van een aantal getallen is de kgv.
Ggd en kgv kun je vinden door:
1) Uitschrijven;
2) a. Schrijf beide getallen als een product van priemfactoren.
b. De ggd kun je vinden door de gemeenschappelijke priemfactoren van beide
getallen te vermenigvuldigen.
c. De kgv kun je vinden door de priemfactoren van het ene getal te nemen en
deze te vermenigvuldigen met de priemfactoren van het andere getal die je
nog niet hebt gehad.
Willem-Jan van der Zanden
34
2 Samenvatting
Volgorde van berekeningen:
1) Haakjes wegwerken
2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
3) Optellen en aftrekken van links naar rechts
Let op: Schrijf ALLE stappen ONDER elkaar.
Rekenregels bij breuken:
• Vereenvoudig breuken zo veel mogelijk;
• Haal bij breuken altijd de helen eruit;
• Niet gelijknamige breuken moet je eerst gelijknamig maken (gelijke noemers),
voordat je ze op kunt tellen;
• Als je twee breuken met elkaar vermenigvuldigd moet je de tellers en
de noemers van beide breuken met elkaar vermenigvuldigen;
• Voor het vermenigvuldigen werk je eerst de helen weg.
Willem-Jan van der Zanden
35
2 Samenvatting
Positieve getallen liggen rechts van 0 op de getallenlijn;
Negatieve getallen liggen links van 0 op de getallenlijn.
Bij optellen en aftrekken geldt: -- wordt +, -+ wordt – en +- wordt -.
Tekenen van een assenstelsel:
1) Kies de plaats van de oorsprong en teken de horizontale x-as;
2) Teken de verticale y-as en zet getallen bij de x-as en y-as;
3) Zet O bij de oorsprong, x-as bij de horizontale as en y-as bij de verticale as.
Een assenstelsel bestaat uit vier kwadranten. (De assen horen niet bij de
kwadranten);
Bij een roosterpunt zijn de x- en de y-coördinaat allebei een geheel getal.
Willem-Jan van der Zanden
36