Extra Opgaven Algebra 1

Extra Opgaven Algebra 1
Week 15
1) Laat f : G1 → G2 een surjectief groepshomomorfisme zijn. Als N een normaaldeler
van G1 is dan is f (N ) een normaaldeler van G2 . Bewijs dit.
2) Laat N een normaaldeler van de groep G zijn en n = [G : N ]. Bewijs dat g n ∈ N
voor elk element g ∈ G.
3) Laat G een eindige groep zijn en N een normaaldeler van G. Bewijs dat de orde van
gN in G/N een deler is van de orde van g in G.
4) Laat G een eindige groep zijn en N een normaaldeler van G. Bewijs dat als G/N
een element van orde n heeft, dan heeft G ook een element van orde n.
5) Laat G een eindige groep zijn die transitief op een eindige verzameling X werkt. Laat
zien dat er een element g ∈ G is dat geen enkel element van x vastlaat.
6) Bestaat er een ondergroep N van Z/27Z × Z/3Z zodat N ∼
= Z/9Z ∼
= G/N ?
7) Laat p een priemgetal zijn. Bewijs dat er op isomorfie na precies twee groepen van
orde 2p zijn: de cyklische en de dihedrale.
9) Bepaal de normalisator NG (H) = {g ∈ G : gHg −1 = H} in G = S4 van de volgende
ondergroepen:
H = h(1 2)i, H = h(1 2 3)i, en H = h(1 2 3 4)i.
En van H = h(1 2 3)i ⊂ A4 in G = A4 .
10) Bepaal het centrum van GL(2, R). En ook van GL(n, R) voor n ≥ 3.
11) Laat G een groep zijn van orde pq met p en q twee priemgetallen. Bewijs dat het
centrum van G orde 1 of pq heeft.
12) Laat N een normaaldeler van een eindige groep G zijn. Neem aan dat N cyklisch
is. Bewijs dat elke ondergroep H van N ook normaaldeler van G is.