Rijen met een exponentieel verband en rijen die er op

Paragraaf 12: Rijen met een exponentieel verband en rijen die er op lijken
16 mei versie 4
Hoe herken je een rij met een exponentieel verband? Wat zijn de eigenschappen van zulke
rijen ?
Welke rijen lijken er veel op ?
Hoe worden sommige rijen gebruikt in de architectuur?
Uit een bestaande rij kun je nieuwe rijen maken.
Bijvoorbeeld een verschilrij en een somrij.
Op maandag 1 november begint schrijver Ronald Giphart
zijn column in de Volkskrant naar aanleiding van de dood
van Harry Mulisch (1927-2010) als volgt:
" Als ik de seconde voor mijn dood deel door twee, resteren twee halve
seconden, en als ik de laatste halve seconde weer deel door twee,
twee kwartseconden, en als ik dat laatste kwart weer deel door twee,
en dit oneindig volhoud, dan zal ik nooit sterven", zei Harry Mulisch ooit.
In bovenstaand citaat is een rij getallen opgesloten.
1a. Schrijf het begin van deze rij op totdat je gekomen bent bij een term die kleiner is dan
eenduizendste seconde.
Met behulp van een recursieve formule kun je het bijzondere van deze rij zien.
1b Geef deze recursieve formule. Neem 1 als startwaarde.
1c Door welke Griekse filosoof was Mulisch vermoedelijk geïnspireerd? Welke passende
paradox had deze filosoof bedacht? Zie zo nodig op internet Wikipedia en het pakketje
Logica 2.
Maatsystemen
Zoals eerder vermeld, zie paragraaf 4 "evenredigheden", ontwikkelde de Zwitserse architect
Le Corbusier , een maatsysteem gebaseerd op de Gulden snede.
De Gulden snede, ook wel de verdeling in uiterste en middelste groeifactor genaamd, is de
verdeling van een lijnstuk in twee delen in een speciale verhouding. Bij de gulden snede
1
verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich
verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met x en het kleinste deel met 1, dan
is de verhouding van beiden zo dat x : 1 = (x+1) : x . Zie figuur 1.
figuur 1
1
x
x x 1
Deze verhouding kunnen we schrijven als: 
1
x
en na kruislings vermenigvuldigen als:
x2  x  1
De bedoelde verhouding 1x wordt het Gulden Snede getal genoemd en aangeduid met de
Griekse letter  (phi). Het is de positieve oplossing van de vergelijking x2  x  1 .
Er geldt:  
1 5
 1, 62
2
2. Ga dat na.
Het maatsysteem van Le
Corbusier heeft twee schalen: de
blauwe en de rode.
Uitgangspunt zijn een
mannelijke figuur van 1829
mm( tot zijn kruin) en met
opgeheven hand van 2261 mm.
In tabel 1 staan de getallen van de rode schaal.
Hij past de verhoudingen toe in zijn bouwwerken, maar als het hem niet uitkomt , wijkt hij
daar van af.
Tabel 1
2
r(1)
r(2)
r(3)
r(4)
r(5)
r(6)
r(7)
r(8)
r(9)
r(10)
r(11)
r(12)
r(13)
6
9
15
24
39
63
102
165
267
432
698
1130
1829
3a. Ga na dat elke getal uit de rij ontstaat door het voorgaande getal te vermenigvuldigen met
het gulden snede getal en daarna af te ronden op een geheel getal. Kortom laat zien dat de
rij is gebaseerd op de Gulden Snede.
Ook geldt voor deze rij: r (n)  r (n  1)  r (n  2)
3b. Controleer dit in tabel 1.
Bekijk tabel 2.
Tabel 2
b(1)
b(2)
b(3)
b(4)
b(5)
b(6)
b(7)
b(8)
b(9)
b(10)
b(11)
b(12)
11
18
30
48
78
126
204
330
534
863
1397
2261
b(13)
4. Laat zien dat ook de blauwe rij , zie tabel 2, gebaseerd is op de gulden snede en nagenoeg
dezelfde recursieve formule geldt.
De rode rij en de blauwe rij kun je voortzetten naar rechts of naar links.
5. Bereken r(14), b(14), r(0) en b(0).
In het onderstaande schema staan de directe formules en recursieve formules van beide rijen
deels ingevuld:
Rode rij
Directe formule
r (n)  6  (...)n
Blauwe rij
b(n)  .........
Recursieve formule
r (n)  (...)  r (n  1)

r (1)  6
6. Neem het schema over en vul het verder in.
Van een rij is de directe formule u(n)  6  5n1 met n  1.
7a. Bereken de eerste vijf termen en schrijf de recursieve formule op.
7b. Leg uit waarom deze directe formule een exponentieel verband weergeeft.
Een rij, waarvan je een nieuwe term vindt door de vorige met een vast getal g te
vermenigvuldigen, heet een rij met een exponentieel verband.
Dat vaste getal g heet de (groei)factor van de rij met een exponentieel verband. Bij de twee
schalen van Le Corbusier is dat het Gulden Snede getal.
Elke rij met een exponentieel verband heeft een directe formule en een recursieve formule.
Kijk nog eens naar opgave 1
8. Leg uit waarom de rij in het citaat van Mulisch een rij met een exponentieel verband is.
De Fibonacci-rij 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…….
3
is geen rij met een exponentieel verband.
9. Laat dat zien.
Toch is er wel iets aan de hand met de verhoudingen van twee opeenvolgende termen.
Zie tabel 3 die deels is ingevuld. In de middelste rij staan de eerste 13 Fibonaccci-getallen.
Tabel 3
term
waarde
verhouding
f(1)
f(2)
f(3)
f(4)
f(5)
f(6)
f(7)
f(8)
f(9)
f(10)
f(11)
f(12)
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
1
2
1,5
1,667 1,600 1,625
10a. Neem de tabel over en vul het verder in.
10b Wat kun je zeggen op den duur over de waarden van de verhoudingen?
De Fibonacci-rij is dus een rij die een exponentieel verband nadert.
We bekijken nu een ander getal en een ander maatsysteem die in de architectuur worden
gebruikt. Het gaat om het Plastisch getal .
Het is in de architectuur een speciale verhouding waarmee een hele rij van met elkaar
verbonden verhoudingen samenhangt. Deze verhoudingen vormen de grondslag van een
verhoudingenleer, ontwikkeld door de priester en architect Dom Hans van der Laan (19041991).
Dom Hans van der Laan ontwierp veel kloosters en
kerken. Hij had kritiek op het maatsysteem van Le
Corbusier. Hij vond dat dit maatsysteem alleen voor
een verdeling van 2-dimensionale vlakken geschikt
was. Hij ontwikkelt een 3-dimensionaal maatsysteem
en leidt hieruit af een speciaal verhoudingsgetal,
vergelijkbaar met het Gulden Snede getal, het
Plastische getal.
Deze afleiding gaat als volgt:
We kijken naar de maten van een balk(blok): breedte, lengte en hoogte. Zie figuur 2.
h
l
figuur 2
4
b
f(13)
Van der Laan stelde de volgende eisen aan de drie maten die hij in verhoudingen uitdrukte:
l h bl
.
 
b l
h
Kiezen we voor de breedte b de waarde 1 dan krijgen we:
l h 1 l
.
 
1 l
h
Hieruit kunnen we een mooie vergelijking afleiden. Hiervoor moet je een aantal stappen doen.
Zie onderstaande tabel.
Uit
volgt
l h

1 l
l 1 l

1
h
l 1 l

1 l2
Leg uit waarom dat zo is:
hl
2
l 1 l

1 l2
l3  1 l
l
wordt het plastisch getal genoemd en vaak aangeduid met de Griekse letter
1
ψ (psi). Het getal ψ voldoet aan de wiskundige vergelijking:
De verhouding
Als enige reële oplossing heeft het de waarde:   1,3247 .
11. Los de vergelijking op met de GR en laat zien dat 1,3247 de oplossing is.
Abdij Vaals, ontworpen door Van der Laan
Neem voor een kleinste maat 10 cm en werk met de recursieve formule:
u (n)    u (n  1)

u (1)  10
12 Tot welke maten leidt een dergelijk stelsel? Schrijf er een aantal op.
Er geldt dat: u(4)  u(1)  u(2)
13 a Leg uit waarom dat zo is.
5
Misschien heb je het vermoeden dat elke term de som is van de twee voorgangers van de
voorganger van die term.
13b. Schrijf dit op in de notaties van een recursieve formule.
13c. Controleer dit voor de vijfde en zesde maat.
Het Gulden Snede getal wordt door de architect Le Corbusier gebruikt in twee maatsystemen
waarbij het de rol krijgt van een groeifactor in een rij met een exponentieel verband.
Het Plastische getal wordt door de architect Van der Laan gebruikt in een ander maatsysteem.
Ook hier krijgt het de rol van groeifactor in een rij met een exponentieel verband.
Het Gulden Snede getal is de positieve oplossing van de vergelijking: x2  x  1 .
Het Plastisch getal
is de positieve oplossing van de vergelijking: x3  x  1 .
Van twee startwaarden naar drie startwaarden.
Rij van Padovan
De rij van Padovan is een rij gehele getallen p(n) die gedefinieerd wordt door drie
startwaarden:
Geboren in 1935, Richard Padovan
studeerde architectuur aan de
 p(n)  p(n  2)  p(n  3)
Architectural Association in Londen

(1952-1957). Sindsdien heeft hij
 p(0)  p(1)  p(2)  1
gecombineerd praktijk met lesgeven
en schrijven over architectuur. Hij
Het begin van de rij is:
is echter van mening, dat zijn echte
architecturale onderwijs begon toen
1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49,
hij in aanraking kwam met het
65,86,114,151,200,265,351,465,616,816,1081,1432,
gedachtegoed van de Nederlandse
1897,2513,3329,4410,5842,7739,10252,13581,17991,
Benedictijnse architect Dom Hans
23833,31572,41824,55405,73396,97229,128801,
van der Laan in 1974.
170625,......
De rij is genoemd naar de architect en schrijver Richard Padovan, die zijn ontdekking
toeschreef aan de Nederlandse architect Hans van der Laan.
14a. Laat zien dat de rij van Padovan geen rij met een exponentieel verband is .
Bekijk weer de verhouding van twee opeenvolgende termen. Doe dit vanaf de tiende term.
14b. Maak een soortgelijke tabel als tabel 3 en schrijf op wat op den duur de waarden van de
verhoudingen zijn.
Het Plastisch getal is de grenswaarde van de verhouding van twee opeenvolgende termen in
de rij van Padovan . Het staat tot deze rij in dezelfde relatie als het Gulden Snede getal tot de
rij van Fibonacci. Ook de rij van Padovan is een rij die een exponentieel verband nadert.
6
In figuur 3 is afgebeeld een Spiraal van gelijkzijdige driehoeken met zijden volgens de
recursieve formule van de rij van Padovan.
figuur 3
15a. Welke getallen zijn hier de startwaarden?
15b. Teken de twee volgende gelijkzijdige driehoeken. Figuur 3 staat ook op de bijlage.
15c Hoe vindt je de recursieve formule terug in deze figuur?
Verschilrij
Zie weer opgave 1. In tabel 4 zien we deels weer de rij van Harrie Mulisch.
Tabel 4
term
waarde
afname
u(1)
u(2)
u(3)
u(4)
u(5)
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
0,5
0,25
u(6)
u(7)
In tabel 4 staan in de onderste rij de verschillen van opeenvolgende termen.
16a Neem tabel 4 over en vul de lege hokjes in.
Vergelijk de tweede rij met de derde rij van de tabel.
7
u(8)
16b Wat valt je op als je denkt aan de eigenschappen van een rij met een exponentieel
verband?
Een rij met een exponentieel verband wordt bepaald door de startwaarde en de groeifactor.
17a. Bedenk zelf een rij met een exponentieel verband en maak een tabel zoals tabel 4.
17b. Schrijf de startwaarde en de groeifactor op van de verschilrij.
Een rij met een exponentieel verband wordt vastgelegd door twee getallen. Namelijk
startwaarde en groeifactor.
De rij van de verschillen is zelf ook weer een rij met een exponentieel verband met een
groeifactor die precies hetzelfde is als van de oorspronkelijke rij. De startwaarde is nu het
verschil van de tweede term met de eerste term van de oorspronkelijke rij.
Somrij
Bekijk het volgende probleem:
Iemand staat voor een moeilijk besluit. Hij heeft de loterij gewonnen en moet kiezen uit twee
opties:
Optie A: meteen een bedrag van €10.000.000 ontvangen op de eerste dag van de volgende
maand.
Optie B: eerst €0,01 ontvangen op de eerste dag van de volgende maand, €0,02 op de tweede
dag van die maand, €0,04 op de derde dag en dit blijven verdubbelen tot het einde
van de maand. De maand waar het hier om gaat heeft 30 dagen.
Welke optie moet hij kiezen?
18. Probeer bovenstaand probleem op te lossen. Bijvoorbeeld zou je excel hierbij kunnen
gebruiken.
We pakken het probleem nu aan met rijen.
De geldbedragen van de eerste dertig dagen vormen een eindige rij met een exponentieel
verband: 0,01; 0,02; 0,04; 0,08; 0,16......................
In rijnotatie: u(1)  0,01; u(2)  0,02; u(3)  0,04; enz.
19a. Stel de directe formule en de recursieve formule op.
De vraag is natuurlijk hoeveel geld heb je in totaal na bijvoorbeeld 25 dagen of 30 dagen?
Na een dag heb je € 0,01, na twee dagen € 0,01+€ 0,02, na drie dagen € 0,01+€ 0,02+€ 0,04,
enz. Er ontstaat een nieuwe rij die we de somrij noemen.
We gebruiken de notatie : S(1)=0,01; S(2)=0,03; S(3)=0,07 enz.
S (7)  u(1)  u(2)........  u(7)
19b. Bereken de waarde van S (7)
8
190 c. Hoe kun je de waarde van S (8) berekenen met behulp van S (7) ?
dag
u(n)
S(n)
dag
1
0,01
16
2
0,02
17
3
0,04
18
4
0,08
19
5
0,16
20
6
0,32
21
7
0,64
22
8
1,28
23
9
2,56
24
10
5,12
25
11
10,24
26
12
20,48
27
13
40,96
28
14
81,92
29
15
163,84
30
u(n)
S(n)
20. Neem bovenstaande tabel over en vul het verder in.
Het zal duidelijk zijn dat optie B meestal interessanter is dan optie A maar het hangt wel af
van welke maand.
21. Bij hoeveel maanden is optie B financieel aantrekkelijker?
We kunnen met behulp van balken een ruimtelijke
voorstelling maken van het beginstuk van de rij
van kwadraten: 1, 4, 9, 16, 25, 36.
Het bouwwerk in de figuur hiernaast bestaat uit zes
lagen.
De eerste laag bestaat uit één kubus.
De tweede laag is een balk die bestaat uit
vier kubussen.
De derde laag bestaat uit 9 kubussen. Enz.
Het totaal aantal kubussen geven we aan met
S6  1  4  9  16  25  36  91 .
9
Stel je wil op deze manier een reusachtig monument bouwen waarvan het grondvlak 24 bij
24meter is. Je laat hiervoor blokken gebruiken van 1 bij 1 bij 1 decimeter.
Hoeveel blokken zijn hiervoor nodig?
n(n  1)(2n  1)
Er is voor deze somrij een directe formule: Sn 
.
6
22a. Bereken het totaal aantal blokken voor dat monument.
22b. Geef de recursieve formule van deze somrij.
In plaats van de rij der kwadraten kunnen we kijken naar de derde machten:
13 , 23 , 33 , 43 , 53 , 63......
De directe formule voor de somrij is Sn  14  n2  (n  1)2
23a. Controleer deze formule voor de eerste vier termen van de somrij.
13 kun je opvatten als de inhoud van een kubusvormige steen van 1 bij 1 bij 1 meter.
23 kun je opvatten als de inhoud van een kubusvormig bouwsel van 2 bij 2 bij 2 meter. Enz.
23b. Hoe kun je op deze manier betekenis geven aan S 4
23b. Geef de recursieve formule voor deze somrij.
De som van kwadraten van Fibonacci-getallen
In tabel 5 staan niet alleen de eerste 13 Fibonacci-getallen maar ook de kwadraten ervan.
In de laatste rij van de tabel zijn de eerste drie termen van de somrij van de kwadraten
ingevuld.
Tabel 5
f(1)
f(2)
f(3)
f(4)
f(5)
f(6)
f(7)
f(8)
f(9)
f(10)
f(11)
f(12)
f(13)
waarde
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
kwadraat
1
1
4
9
25
64
169
1
2
6
15
40
104
term
Som
S ( n)
We onderzoeken de somrij S (n) van de kwadraten.
24a. Neem de tabel over en vul deze verder in.
In figuur 4 is het getal S (5) in beeld gebracht als de oppervlakte van een rechthoek die
samengesteld is uit vijf vierkanten.
10
figuur 4
Deze rechthoek wordt een
Fibonacci-rechthoek genoemd.
Het is een bijna gulden rechthoek.
De oppervlakte is gelijk aan 5  8 .
24b. Leg uit waarom de rechthoek in figuur 4 een bijna gulden rechthoek is.
24c. Neem figuur 4 over en teken de volgende Fibonacci-rechthoek en geef de oppervlakte als
het product van twee afmetingen. Figuur 4 staat ook in de bijlage
24d. Heb je een vermoeden waar S (n)  f (1)2  f (2)2 ......... f (n)2 aan gelijk is. Met welke
twee Fibonacci-getallen kun je het in verband brengen?
Terugblik
Je hebt rijen leren kennen met een exponentieel verband. Deze rijen kun je beschrijven met
een directe formule maar ook met een recursieve formule. Je hebt hierbij één startwaarde.
Er zijn ook rijen die lijken op rijen met een exponentieel verband maar het toch niet zijn.
Deze rijen benaderen een exponentieel verband.Voorbeelden zijn de maatsystemen van de
architecten Le Corbusier en Padovan. De recursieve formules die hierbij horen hebben
meerdere startwaarden.
Bij een gegeven rij is het soms interessant om te kijken naar de bijbehorende verschilrij en of
somrij. De verschilrij bestaat uit verschillen van opeenvolgende waarden.
Bij een somrij is S (n) de som van de eerste n opeenvolgende waarden.
Zie hieronder een kinderrijmpje uit de Engelse literatuur uit begin negentiende eeuw:
As I was going to St Ives
I met a men with seven wives,
Every wife had seven sacks,
Every sack had seven cats
Every cat had seven kits.
Kits, cats, sacks, wives,
How many were going to St Ives
25a. Schrijf achtereenvolgens op het totale aantal vrouwen, totale aantal zakken, enz. en geef
de kenmerken van de ontstane rij.
11
25b. Beantwoord de vraag van het gedichtje.
Het kinderrijmpje is een dichterlijke manier om te laten zien hoe snel kleine getallen tot grote
kunnen leiden.
In de Liber abaci van Leonardo Fibonacci uit de dertiende eeuw stond het volgend raadsel:
Zeven vrouwen zijn op weg naar Rome. Elke vrouw heeft zeven muilezels. Elke ezel heeft
zeven zakken. In elke zak zitten zeven broden. Bij elk brood horen zeven foudralen. In elk
foudraal zitten zeven messen.
25c Bereken het totaal aantal levende wezens en objecten.
De Rhind-papyrus wordt beschouwd als een van de belangrijkste bekende informatiebronnen
over wiskunde in het oude Egypte. Deze papyrusrol is geschreven rond 1650 v. Chr.
In dit geschrift staat een puzzel. Het wordt probleem 79 genoemd.
25d. Probeer dit probleem te vinden op bijvoorbeeld internet en vergelijk het met Engelse
kinderrijmpje en schrijf je conclusie op.
Oefenopgaven.
Van een rij is gegeven: p(0)  100en p(n)  1,06  p(n 1)
26a. Geef een direct verband.
26b. Bereken zowel met de recursieve formule als met de directe formule de waarde
van p(3) .
Van een rij met een exponentieel verband u(0), u(1), u(2),....... is gegeven dat
u(6)  15552en u(3)  72 .
27. Bereken de groeifactor en u (0) .
Van een rij is de directe formule t (n)  3n met n  0 .
28a. Laat zien met behulp van rekenregels van exponenten dat t (k  1)  t (k ) het dubbele is
van t (k ) .
Er geldt: 2  S (5)  t (5)  1 .
28b. Ga dat met een berekening na.
28c. Wat kun je schrijven voor 2  S (8) waarbij je een term uit de rij t (n) gebruikt?
28d Heb je een vermoeden wat het verband is tussen S (100) en t (100) ?
q(n)  0,5  3n
29 Kies een startwaarde en schrijf de recursieve formule op.
12
Onderzoeksopdracht 1
Zie opgave 25c. Het raadsel van Fibonacci leidt tot de optelling: 7  72  73  74  75  76 .
30. Onderzoek of er een handige manier bestaat om machten van 7 bij elkaar op te tellen.
Je kunt ook kijken naar machten van twee.
Leg één graankorrel op het hoekveld
van een leeg schaakbord. Leg twee
graankorrels op het aangrenzende
veld en vul vervolgens de rest van
het bord door het aantal graankorrels
per veld te verdubbelen.
De hamvraag is: "Hoeveel graan zou je in totaal nodig hebben om het gehele schaakbord te
vullen?"
31a Leg uit dat je het probleem kunt terugbrengen tot de optelling:
1  2  22  23  24  .........263
31b. Onderzoek of er een handige manier is om 64 machten van twee bij elkaar op te tellen.
32.
13
Kies een ander getal dan 2 of 7 en reken op een handige manier de som uit van de eerste
honderd machten met jouw gekozen getal als grondtal.
Onderzoeksopdracht 2: Sneeuwvlokkromme van Koch
Fractale geometrie bestaat sinds 1980. Zij bestudeert objecten die op iedere schaal weer
dezelfde vorm aannemen. Bijvoorbeeld de kustlijn van Engeland.
Deze opdracht gaat over zo'n fractal.
figuur 5
Helge von Koch
was een Zweedse wiskundige(18701924) die zijn naam gaf aan een fractal
In figuur 5 is het ontstaan van de sneeuwvlokkromme op schaal uitgebeeld. We gaan uit van
een gelijkzijdige driehoek met zijde 12 cm, de initiator. Ook wel het eerste exemplaar
genoemd. De omtrek is 36 cm.
Elk van de zijden wordt in drie gelijke stukken verdeeld, op het middelste stuk wordt een
gelijkzijdige driehoek geplaatst en vervolgens wordt dit middelste stuk weggelaten. Zo
ontstaat exemplaar 2. Dit proces wordt herhaald en zo ontstaat het derde exemplaar,
enzovoort. Ga je oneindig lang door, dan ontstaat de sneeuwvlokkromme van Koch.
Je gaat onderzoeken eerst de omtrek van de sneeuwvlokkromme en daarna ga je onderzoeken
wat er met de oppervlakte gebeurt.
Onderzoek Omtrek
33a. Bereken de omtrekken van de tweede, derde, vierde en vijfde exemplaar.
Het aantal lijstukjes A(n) van de exemplaren vormen een rij met een exponentieel verband.
De lengte l (n) van de lijnstukjes van de exemplaren vormen eveneens een rij met een
exponentieel verband.
33b. Bepaal van beide rijen directe formule en recursieve formule.
14
De omtrekken van de exemplaren die zo ontstaan vormen tenslotte ook een rij met een
exponentieel verband.
33c Geef ook van deze rij directe formule en recursieve formule.
Er is een eerste exemplaar waarvan de omtrek groter is dan één kilometer.
33d. Bereken het rangnummer van dit exemplaar.
33e. Leg uit dat de sneeuwvlokkromme oneindig lang wordt.
Onderzoek Oppervlakte
34a. Laat zien dat de oppervlakte die bij de initiator hoort gelijk is aan 36 3 vierkante
centimeter.
Bekijk goed exemplaar 2. Het kleine gelijkzijdige driehoekje op een grote zijde heeft zijden
die drie keer zo klein zijn geworden. De oppervlakte is dus negen keer zo klein geworden en
is dus 4 3 .
34b. Bereken de oppervlakte van het tweede exemplaar.
We bekijken nu de oppervlakte van het derde exemplaar. Het ontstaat uit het tweede
exemplaar met 12 zijden. Er komen dus 12 driehoekjes bij.
De oppervlakte van het derde exemplaar is van de vorm 36 3  (.......)  36 3
34c. Vul de open plaats in en bereken de oppervlakte van het derde exemplaar.
Voor de oppervlakte is er de volgende recursieve formule:

O(n)  O(n  1) 


O(1)  36 3

34n2
9n1
  O(1)
34d. Bereken met deze recursieve formule de oppervlakte van het tweede, derde en vierde
exemplaar.
34e. Laat zien dat de sneeuwvlokkromme kromme oneindig lang wordt maar dat de
oppervlakte van het gebied dat door de kromme wordt omsloten een grenswaarde heeft.
34f. Bereken die grenswaarde.
15
Bijlage
figuur 3
figuur 4
16