AS2 lecture 4 - Superpositie Thévenin, Norton, en complexe stroom

AS2 lecture 4
Superpositie Thévenin, Norton, en complexe stroom
Cees Keyer.
Amsterdam School of technology, dept. Electronic Engineering
November 28
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Netwerk theorema’s
Superpositie.
Superpositie beginsel:
Definition
het superpostitie beginsel stelt dat het totale effect van diverse
bronnen op een schakeling de som is van de deel effecten.
En natuurlijk geldt dit alleen voor een schakeling met
onafhankelijke bronnen. Sluit hiervoor de spanningsbronnen
kort en de stroombronnen laat je open.
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Netwerk theorema’s
Superpositie.
Superpositie beginsel:
Definition
het superpostitie beginsel stelt dat het totale effect van diverse
bronnen op een schakeling de som is van de deel effecten.
En natuurlijk geldt dit alleen voor een schakeling met
onafhankelijke bronnen. Sluit hiervoor de spanningsbronnen
kort en de stroombronnen laat je open.
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Netwerk theorema’s
Superpositie.
Superpositie beginsel:
Definition
het superpostitie beginsel stelt dat het totale effect van diverse
bronnen op een schakeling de som is van de deel effecten.
En natuurlijk geldt dit alleen voor een schakeling met
onafhankelijke bronnen. Sluit hiervoor de spanningsbronnen
kort en de stroombronnen laat je open.
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Netwerk theorema’s
Superpositie.
+
+
_
_
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Netwerk theorema’s
Het theorema van Thévenin
Gegeven een tweetal schakelingen met daartussen 2 draden.
vervang deze door een bron en R
RThevenin
Circuit
Circuit
A
B
Circuit
+
_
Cees Keyer.
UThevenin
AS2 lecture 4
B
Netwerk theorema’s
Wat heb je nodig om de R uit te rekenen.
Volgens Ohm spanning en Stroom.
De spanning is de open klemspanning en de stroom de
kortsluitstroom.
Uoc
Rt =
Isc
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
(1)
Netwerk theorema’s
Wat heb je nodig om de R uit te rekenen.
Volgens Ohm spanning en Stroom.
De spanning is de open klemspanning en de stroom de
kortsluitstroom.
Uoc
Rt =
Isc
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
(1)
Netwerk theorema’s
Wat heb je nodig om de R uit te rekenen.
Volgens Ohm spanning en Stroom.
De spanning is de open klemspanning en de stroom de
kortsluitstroom.
Uoc
Rt =
Isc
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
(1)
Netwerk theorema’s
Norton’s equivalent. Mag je zelf uitzoeken, zie Dorf voor meer
info.
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Complexe zaken.
In het vak signalen 1 zijn de complexe getallen behandeld.
U zou geleerd kunnen hebben dat we deze gebruiken voor
wisselspanning.
(2)
U(t) = Um cos(ω t)
Nu mag je voor de spanning uit formule 2 ook omschrijven via
Euler.
Ue = Um ejω t = Um hcos(ω t) + j sin(ω t)i
(3)
Maar dan hebben we alleen het reëele deel nodig:
Ue = ℜ[Um hcos(ω t) + j sin(ω t)i] = Um cos(ω t)
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
(4)
Complexe zaken.
I
U
Spanningswet Kirchoff.
Ue = L
Cees Keyer.
die
+ R · ie
dt
AS2 lecture 4
(5)
Complexe zaken.
De formule 5 is een zogenaamde differentiaal vergelijking. De
meest eenvoudige oplossingen moeten vaak gezocht worden in
de e machten.
De methode om met de hand dit soort DV’s op te lossen is
bekend als trial and horror.
Laten we gewoon ie = Aejω t invullen. Volgens het wiskunde
boekje is de afgeleide van de e macht de e macht zelf. En met
de ketting regel wordt het diffrentieren van de e macht dan:
d(Aejω t)
= Ajω ejω t
dt
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
(6)
Complexe zaken.
De formule 5 is een zogenaamde differentiaal vergelijking. De
meest eenvoudige oplossingen moeten vaak gezocht worden in
de e machten.
De methode om met de hand dit soort DV’s op te lossen is
bekend als trial and horror.
Laten we gewoon ie = Aejω t invullen. Volgens het wiskunde
boekje is de afgeleide van de e macht de e macht zelf. En met
de ketting regel wordt het diffrentieren van de e macht dan:
d(Aejω t)
= Ajω ejω t
dt
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
(6)
Complexe zaken.
De formule 5 is een zogenaamde differentiaal vergelijking. De
meest eenvoudige oplossingen moeten vaak gezocht worden in
de e machten.
De methode om met de hand dit soort DV’s op te lossen is
bekend als trial and horror.
Laten we gewoon ie = Aejω t invullen. Volgens het wiskunde
boekje is de afgeleide van de e macht de e macht zelf. En met
de ketting regel wordt het diffrentieren van de e macht dan:
d(Aejω t)
= Ajω ejω t
dt
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
(6)
Complexe zaken.
Vullen we nu de afgeleide van de e-macht in formule 5 in dan
krijgen we:
jω · L · Aejω t + AR · ejω t = Um ejω t
(7)
Dus moet A zijn:
A=
Um
jω · L + R
(8)
Een alternatieve manier van complexe getallen opschrijven is in
de vorm van een complexe e-macht.
Um −jβ
Um
=
e
jω · L + R
Z
Met Z =
p
|R + ω L|2 en β = arctan ωRL
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
(9)
Complexe zaken.
En als we deze substitueren in formule 7 dan krijgen we:
Ie =
Um −jβ jω t
e e
Z
(10)
We weten nog dat we het reëele deel nodig hadden, we
gebruiken ook immers het reëele deel van de spanning. Dus:
I = ℜh
Um −jβ jω t
e e i
Z
(11)
Beetje behendig met machten manipuleren....
I=
Um
Um
ℜhej(ω t−β ) i =
cos(ω t − β )
Z
Z
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
(12)
Complexe zaken.
En als we deze substitueren in formule 7 dan krijgen we:
Ie =
Um −jβ jω t
e e
Z
(10)
We weten nog dat we het reëele deel nodig hadden, we
gebruiken ook immers het reëele deel van de spanning. Dus:
I = ℜh
Um −jβ jω t
e e i
Z
(11)
Beetje behendig met machten manipuleren....
I=
Um
Um
ℜhej(ω t−β ) i =
cos(ω t − β )
Z
Z
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
(12)
Complexe zaken.
Wat hebben we nu hieraan: Bij een spoel wordt de spanning
stroom relatie gegeven door de formule
di(t)
dt
(13)
dU(t)
dt
(14)
Ul (t) = L
En voor de condensator geldt:
Ic (t) = C
Dus schakelingen met wisselspanning en de condensator en
spoel leveren altijd Dv’s op in het tijdsdomein.
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Complexe zaken.
Voor de componenten gelden nu de volgende wetmatigheden.
Begrippen
De condensator:
Heeft een reactantie (= wisselstroomweerstand)
Deze is
−j
ωC
aka
1
jω C
Wordt gesymboliseerd met Xc
De Spoel
Heeft ook een reactantie
Deze is jω L
Wordt gesymboliseerd met Xl
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Complexe zaken.
Begrippen vervolg
Weerstand: Is de ohmse weerstand die geen
faseverschuiving met zich mee brengt.
reactantie, is weerstand die wel fase verschuifd.
Impedantie is de grootte van het totaal wordt weergegeven
met Z
√
Z = X 2 + R2
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Complexe zaken.
Begrippen vervolg
geleiding: Is de ohmse geleiding die geen faseverschuiving
met zich mee brengt.
susceptantie, is geleiding die wel fase verschuifd.
admitantie is de grootte van het totaal wordt weergegeven
met Y
√
Y = B2 + G2
B en G zijn niet zomaar de reciproke van resp X en R.
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Complexe zaken.
Leerpunten.
Begrippen van de laatste 3 slides moet je weten.
Zo’n DV voor een circuit zou je moeten kunnen opstellen.
Het formeel aantonen dat we complexe getallen nodig
hebben om dit soort problemen te tackelen is mooi mee
genomen.
De condensator en spoel draaien fase, dit wordt
geïmpliceert door de natuurkundige beschrijving van
spanning en stroom.
De netwerk tehorema’s zijn ook wel handig om te weten.
Cees Keyer.
AS2 lecture 4
Complexe zaken.
Opdrachten
Huiswerk:
Maak oefening 5.6-1, pagina 169, uit het boek van Electric
Circuits (Dorf).
Cees Keyer.
AS2 lecture 4