NIDT56CGH 1-5.indd

Inleiding 
De leermap NIEUWE DELTA-T Complexe getallen is in hoofdzaak bestemd voor leerlingen uit de
derde graad van de TSO-studierichtingen en de KSO-studierichtingen die leerplan b volgen.
Opbouw van de leermappen Nieuwe Delta-T
Elk hoofdstuk wordt ingeleid met een passende opening over het te bestuderen onderwerp. De
genummerde paragrafen van elk hoofdstuk bestaan uit een aantal leeritems. Elk leeritem wordt
ingeleid met een instapopdracht.
hoofdstuk
paragraaf
leeritem
instapopdracht
leerinhoud
Elk hoofdstuk begint met een inhoudstafel die aanwijst op welke pagina elk leeritem staat.
In elk leeritem wordt de theorie compact uitgelegd en toegepast op concrete voorbeelden.
De soort leerinhoud is herkenbaar aan de achtergrondkleur.
Kennis en rekenregels om de opdrachten te kunnen uitvoeren.
Doelgericht gebruik van de rekenmachines TEXAS INSTRUMENTS en CASIO.
Vaardigheden om vlot te kunnen meten, schetsen en tekenen.
Extra leerinhouden om uitbreidingsdoelstellingen te realiseren.
4
Inleiding 
Didactisch gerangschikte opdrachten zorgen voor een systematische verwerking van de
leerinhouden.
Instap
Leeritems worden ingeleid met probleemstellingen uit de praktijk.
De moeilijkheidsgraad van de opdrachten is aangegeven met gekleurde vierkantjes.
Eenvoudige opdrachten
Opdrachten met een bijkomende moeilijkheidsgraad
Opdrachten met een hogere moeilijkheidsgraad
Oefenopdrachten op de uitbreidingsleerstof worden aangegeven met een schaduwvlakje.
Instap
Instap
Elke paragraaf wordt afgesloten met Uitdagingen.
De Uitdagingen laten voldoende ruimte voor begeleid zelfstandig leren of zelfstandig leren en
helpen de verschillen in studietempo opvangen.
Uitdagingen
Uitdagingen
1
11
In
een
klas
scoorden
de
meisjes
gemiddeld
8,5
en
de
jongens
7,4
op
een
toets
wiskunde.
In een
een klas
klas scoorden
scoorden de
de meisjes
meisjes gemiddeld
gemiddeld 8,5
8,5 en
en de
de jongens
jongens 7,4
7,4 op
op een
een toets
toets wiskunde.
wiskunde.
In
Het
gemiddelde
van
de
klas
is
8.
Er
zitten
12
meisjes
in
die
klas.
Het
gemiddelde
van
de
klas
is
8.
Er
zitten
12
meisjes
in
die
klas.
Het
gemiddelde
van
de
klas
is
8.
Er
zitten
12
meisjes
in
die
klas.
Hoeveel
leerlingen
telt
deze
klas?
Hoeveel leerlingen
leerlingen telt
telt deze
deze klas?
klas?
Hoeveel
(A)
16
B
(B)
18
(C)
20
(D)
22
(E)
24
(A)
16
B
(B)
18
(C) 20
20
(D) 22
22
(E) 24
24
(A) 16 B
(B) 18
(C)
(D)
(E)
Vlaamse
Wiskunde
Olympiade
Vlaamse Wiskunde
Wiskunde Olympiade
Olympiade
Vlaamse
In de Exploraties komen onderwerpen aan bod die binnen of buiten de wiskunde liggen.
Exploratie
Exploratie
Kerncijfers
Kerncijfers
Kerncijfers
De
Algemene
Directie
Statistiek
en
Economische
Informatie
van
de
FOD
Economie
heeft
de
De Algemene
Algemene Directie
Directie Statistiek
Statistiek en
en Economische
Economische Informatie
Informatie van
van de
de FOD
FOD Economie
Economie heeft
heeft de
de
De
opdracht
om
aan
de
informatiebehoeften
van
de
overheid,
de
bedrijfswereld
en
de
burgers
te
opdracht
om
aan
de
informatiebehoeften
van
de
overheid,
de
bedrijfswereld
en
de
burgers
te
opdracht
om
aan
de
informatiebehoeften
van
de
overheid,
de
bedrijfswereld
en
de
burgers
te
voldoen
door
hen
actuele
cijfers
over
de
toestand
van
het
land
aan
te
bieden.
voldoen door
door hen
hen actuele
actuele cijfers
cijfers over
over de
de toestand
toestand van
van het
het land
land aan
aan te
te bieden.
bieden.
voldoen
De
brochure
‘Kerncijfers’
geeft
een
overzicht
van
wat
er
aan
basisgegevens
beschikbaar
is.
De brochure
brochure ‘Kerncijfers’
‘Kerncijfers’ geeft
geeft een
een overzicht
overzicht van
van wat
wat er
er aan
aan basisgegevens
basisgegevens beschikbaar
beschikbaar is.
is.
De
Het trefwoordenregister geeft aan op welke pagina we de nodige informatie kunnen terugvinden.
Trefwoordenregister
Trefwoordenregister
A
AA

Absolute
frequentie

Absolute frequentie
frequentie 
Absolute
Absolute
frequentiedichtheid

Absolute frequentiedichtheid
frequentiedichtheid 

Absolute
Aselecte
steekproef

Aselecte
steekproef

Aselecte steekproef 
5
Complexe getallen
We hebben achtereenvolgens de verzameling van de natuurlijke getallen, de gehele getallen,
de rationale getallen uitgebreid tot de verzameling van de reële getallen. In deze leermap
bestuderen we de complexe getallen die een uitbreiding vormen van de reële getallen.
De wiskundige Euler bedacht de notatie i voor de vierkantswortel uit -1. Met behulp van dit
getal kunnen we de verzameling van de complexe getallen opbouwen waarmee het mogelijk
wordt om allerlei natuurkundige problemen wiskundig op te lossen. De complexe getallen zijn
van groot belang in verschillende wetenschapsgebieden waaronder de elektrotechniek.
6
1
Complexe getallen in de vorm a + bi
Complex getal
8
Rekenen met complexe getallen
15
Tweedegraadsvergelijkingen29
Uitdagingen36
2
Complexe getallen in de goniometrische vorm
Goniometrische vorm
37
Rekenen met complexe getallen
46
Binomiaalvergelijkingen68
Uitdagingen71
7
Paragraaf 1
1
Complexe getallen
Complexe getallen in de vorm a + bi
XX Complex getal
1
Instap
Los de vergelijkingen op.
a x+1=7
d x+4=3
x = 6
......................................................................................................
e x 2 = 16
b 2x = 5
x = 5
2
......................................................................................................
c x2 = 3
x =
x = -1
......................................................................................................
x = 4
of
x = -4
......................................................................................................
f x 2 = -1
3
of
x = - 3
......................................................................................................
geen oplossingen
......................................................................................................
en e
1 Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing? a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
en e
2 Welke vergelijkingen hebben een geheel getal als oplossing dat geen natuurlijk getal is? d
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
3 Welke vergelijking heeft een rationaal getal als oplossing dat geen geheel getal is? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
4 Welke vergelijking heeft een reëel getal als oplossing dat geen rationaal getal is? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f
5 Welke vergelijking heeft geen reëel getal als oplossing? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Het getal i
Tweedegraadsvergelijkingen hebben niet altijd reële getallen als oplossing, bijvoorbeeld: x 2 = -1.
We kunnen geen reëel getal ontdekken waarvan het kwadraat gelijk is aan -1.
Om de vergelijking x 2 = -1 te kunnen oplossen, breiden we de reële getallen uit met een nieuw
soort getallen. Daarvoor voeren we een ‘denkbeeldig getal i ’ in waarvan het kwadraat gelijk is
aan -1.
Het getal i met kenmerk i 2 = -1 noemen we de imaginaire eenheid.
Het getal i en zijn tegengestelde –i zijn oplossingen van de vergelijking x 2 = -1 omdat i 2 = -1 en
(-i) 2 = i 2 = -1.
8
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
Merk op
Het getal i stelt een vierkantswortel van -1 voor. De notatie -1 mogen we niet gebruiken. Het
rekenen met -1 leidt tot tegenstrijdigheden als de rekenregels voor vierkantswortels verkeerd
worden toegepast:
FOUT
1 = 1 = (-1) (-1) = -1 -1 = i ? i = i 2 = -1
Om dergelijke rekenfouten te vermijden, is de notatie -1 vervangen door het symbool i.
In de elektriciteitsleer duiden we de imaginaire eenheid aan met de letter j omdat de letter i kan
leiden tot verwarring met het symbool voor stroomsterkte.
Voorbeelden
Tweedegraadsvergelijkingen die geen reële oplossingen hebben, kunnen we nu oplossen.
x 2 = -4
x 2 = 4 ? (-1)
x 2 = 4i 2
i 2 = –1
x = 2i of x = -2i
(2i)2 = 4 i 2 (–2i)2 = 4i 2
x 2 = -5
x 2 = 5 ? (-1)
x 2 = 5i 2
i 2 = –1
x = 5iof x = - 5i
( 5i ) = 5 i (– 5i ) = 5i
x = 2,24i
afronden op 2 decimalen
x = -2,24i
2
2
2
2
2
Zet een vinkje achter elke juiste uitspraak.
1 i 2 = -1
✔
4 i is de imaginaire eenheid
2 i = −1
5 i is een reëel getal
3 i2 = 1
6 i stelt een vierkantswortel van -1 voor
✔
✔
9
Paragraaf 1
Complexe getallen
3
Los op. Rond af op 2 decimalen.
1 x 2 = -16
2 x 2 = -3
x2 = 3 · (-1)
......................................................................................................
x2 = 16 · (-1)
......................................................................................................
......................................................................................................
x2 = 16i2
......................................................................................................
......................................................................................................
x = 4i
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
of
x = -4i
3 2x 2 = 14
x2 = 3i2
x =
3i
of
x = - 3i
x = 1,73i
x = -1,73i
4 (x + 3)(x - 3) = 11
x2 = 7
x2 - 9 = 11
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
x =
......................................................................................................
......................................................................................................
x = 2,65
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
of
7
x = - 7
x = -2,65
5 x 2 + 25 = 0
x2 = 20
x =
of
20
x = - 20
x = 4,47
x = -4,47
6 (x + 4)2 = 8x + 12
......................................................................................................
x2 = - 25
......................................................................................................
......................................................................................................
x2 = 25 · (-1)
......................................................................................................
......................................................................................................
x2 = 25i2
......................................................................................................
......................................................................................................
x = 5i
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
of
x = -5i
x2 + 8x + 16 = 8x + 12
x2 = -4
x2 = 4 · (-1)
x2 = 4i2
x = 2i
of
x = -2i
Complex getal
Veelvouden van de imaginaire eenheid i noemen we imaginaire getallen, bijvoorbeeld 2i en 5i.
Als we aan het imaginair getal 2i het reëel getal 3 toevoegen, dan verkrijgen we het samengestelde
getal 3 + 2i.
Een getal van de vorm a + bi met a en b reële getallen en i 2 = -1 , noemen we een complex getal. Het
reëel getal a noemen we het reëel deel en het reëel getal b het imaginair deel van het complex getal
a + bi.
De verzameling van de complexe getallen duiden we aan met het symbool C.
10
We schrijven: 3 + 2i ΠC
3 + 2i is een complex getal
-6 ΠC
–6 = –6 + 0i is een complex getal
5i ΠC
5i = 0 + 5i is een complex getal
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
De verzameling C is een uitbreiding van de verzameling R omdat elk reëel getal een complex getal
is waarvan het imaginair deel nul is.
Gelijke complexe getallen
Complexe getallen zijn gelijk als de reële delen en de imaginaire delen gelijk zijn:
a + bi = c + di ¤ a = c en b = d
a, b, c, d ΠR
4
Bepaal het reële deel en het imaginaire deel van elk complex getal. Vul de tabel in.
complex getal
1
2
3
4
5
6
3 + 4i
2i
-7 + 2i
-4
-3 - 3i
3
-i
2
3
3
. . . . . . . . .0
..........
. . . . . . .-7-4-3
............
...................
...................
...................
2
reëel deel
...................
imaginair deel
...................
4220
...................
...................
...................
. . . . . . -3
.............
. . . . . .-1
.............
5
Bepaal de reële getallen a en b.
1 3 - 2i = a - bi
3 = a
en
2 b = 3 + ai
-2 = -b
......................................................................................................
b = 2
......................................................................................................
......................................................................................................
a = 3
......................................................................................................
3 a + 3i = 2 - bi
a = 2
en
3 = -b
b = -3
......................................................................................................
5 2a - bi = 4 + 3i
2a = 4
en
-b = 3
b = -3
......................................................................................................
7 3a - 2i = 5 + 2bi
3a = 5
en
5
3
b = 3
0 = a
en
2 = -b
......................................................................................................
a = 0
b = -2
......................................................................................................
a + 3 = 4
en
b - 2 = -3
......................................................................................................
a = 1
b = -1
......................................................................................................
8 a = bi
-2 = 2b
......................................................................................................
a =
a = 0
0 = a
6 (a + 3) + (b - 2)i = 4 - 3i
......................................................................................................
a = 2
en
4 2i = a - bi
......................................................................................................
a = 2
b = 3
b = -1
......................................................................................................
a = 0
en
0 = b
......................................................................................................
a = 0
b = 0
......................................................................................................
11
Paragraaf 1
Complexe getallen
9 -a - i = 2b - i
10 -i = a - bi
......................................................................................................
-1 = -1
0
......=
......a
. . . . . . . . . . . en
. . . . . . . . . . . . . . -1
. . . . . . . . . .=
. . . . . .-b
.................................................
a = -2b
b ∈ R
a
. . . . . .=
. . . . . .0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b
. . . . . .=
. . . . . .1
................................................
-a = 2b
en
......................................................................................................
11 a + bi = a - bi
a = a
en
12 a + bi = -a - bi
b = -b
a
. . . . . .=
. . . . . . -a
. . . . . . . . . . . . . . .en
. . . . . . . . . . . . .b
. . . . . .=
. . . . . . -b
..................................................
b = 0
a
. . . . . .=
. . . . . .0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b
. . . . . .=
. . . . . .0
.................................................
......................................................................................................
a ∈ R
......................................................................................................
6
Vul in met het meest passende symbool N, Z, T, R of C.
...............
1 1,33... Π. . .T
...............
6 1 + 2i Π. . .C
...............
2 8 Π. . .N
7
................
3 4i Π. . C
................
8 1,010010001... Π. .R
...............
13 p Π. . .R
...............
4 -5 Π. . .Z
9 - 9 Π..Z
................
...............
14 3,14 Π. . .T
5
2 Π. . .R
...............
................
11 i Π. . C
4
Π. .T
................
3
12
...............
10 -1 - i Π. . .C
6
Π. . .N
...............
3
...............
15 -6i Π. . . C
Complexe getallen voorstellen in het complexe vlak
Een complex getal a + bi wordt volledig bepaald door de reële getallen a en b.
Met elk complex getal a + bi komt een punt P(a, b) van het vlak overeen en omgekeerd:
y
b
imaginaire as
a + bi
P(a, b)
1
0
1 a
x
reële as
Het vlak waarin we de complexe getallen voorstellen met punten, noemen we het complexe vlak of
het vlak van Gauss. De x-as noemen we de reële as en de y-as de imaginaire as.
12
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
Voorbeeld
We stellen de complexe getallen van de tabel voor in het complexe vlak.
complexe getallen
punten in het
complexe vlak
3 + 4i
(3, 4)
-6 + 5i
(-6, 5)
-4 - 2i
(-4, -2)
4 - 7i
(4, -7)
6
(6, 0)
i
(0, 1)
y
-6 + 5i
3 + 4i
1
0
i
6
x
1
-4 - 2i
6=6+0?i
i=0+1?i
4 - 7i
Op de x-as vinden we alle reële getallen terug omdat een punt (a, 0) het reëel getal a voorstelt.
Alle imaginaire getallen liggen op de y-as omdat een punt (0, b) het imaginair getal bi voorstelt.
7
Vul de tabel in en stel de getallen voor in het complexe vlak.
complexe getallen
punten complexe vlak
1
2 - 3i
A(. . . . . .2. . . . . . . . . , . . . .-3
. . . . . . . . . . .)
2
-2 + 3i
B(. . . .-2
. . . . . . . . . . . , . . . . . .3
. . . . . . . . .)
3
0
C(. . . . . .0. . . . . . . . . , . . . . . .0. . . . . . . . .)
4
-4i
D(. . . . . 0
. . . . . . . . . . , . . . .-4
. . . . . . . . . . .)
5
5
E(. . . . . .5. . . . . . . . . , . . . . . .0
. . . . . . . . .)
6
4-i
F(. . . . . .4. . . . . . . . . , . . . . -1
. . . . . . . . . . .)
7
-3
G(. . . .-3
. . . . . . . . . . . , . . . . . .0
. . . . . . . . .)
8
i
H(. . . . . 0
. . . . . . . . . . , . . . . . .1
. . . . . . . . .)
9
5i + 1
I(. . . . . . 1
. . . . . . . . . , . . . . . . .5
. . . . . . . .)
10
-5 - 5i
J(. . . . .-5
. . . . . . . . . . , . . . . .-5
. . . . . . . . . .)
y
I
B
G
1 H
C
0 1
D
E
F
x
A
J
13
Complexe getallen
Paragraaf 1
Waar vinden we de reële getallen terug in het complexe vlak?
Op de x-as of de reële as.
........................................................................................................................................................................................................................................
Waar vinden we de imaginaire getallen terug in het complexe vlak?
Op de y-as of de imaginaire as.
........................................................................................................................................................................................................................................
8
Bepaal de complexe getallen die door de punten worden voorgesteld.
y
F
B
I
A
1
H
0
1
D
x
C
J
E
G
14
punten in complexe vlak
complexe getallen
A(. . . . . .3. . . . . . . . . , . . . . . .2. . . . . . . . .)
............................................................
B(. . . . . .0. . . . . . . . . , . . . . . .5
. . . . . . . . .)
............................................................
C(. . . . . .2. . . . . . . . . , . . . .-2
. . . . . . . . . . .)
............................................................
D(. . . . . 4
. . . . . . . . . . , . . . . . .0
. . . . . . . . .)
............................................................
E(. . . .-5
. . . . . . . . . . . , . . . . -4
. . . . . . . . . . .)
............................................................
F(. . . .-3
. . . . . . . . . . . , . . . . . .5
. . . . . . . . .)
............................................................
G(. . . . . 0
. . . . . . . . . . , . . . .-5
. . . . . . . . . . .)
............................................................
H(. . . .-6
. . . . . . . . . . . , . . . . . .0
. . . . . . . . .)
............................................................
I(. . . . .-4
. . . . . . . . . . , . . . . . . .2
. . . . . . . .)
............................................................
J(. . . . . . 5
. . . . . . . . . , . . . . .-3
. . . . . . . . . .)
............................................................
3 + 2i
5i
2 - 2i
4
-5 - 4i
-3 + 5i
-5i
-6
-4 + 2i
5 - 3i
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
XX Rekenen met complexe getallen
9
Instap
Bewerkingen met complexe getallen voeren we uit zoals bewerkingen met tweetermen waarbij
we i 2 vervangen door -1.
Bereken.
1 + 2i - 3 + 4i = -2 + 6i
1 (1 + 2i) + (-3 + 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 + 2i + 3 - 4i = 4 - 2i
2 (1 + 2i) - (-3 + 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 + 6i
3 3(1 + 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-3i + 4i2 = -3i + 4 · (-1) = -3i - 4 = -4 - 3i
4 i (-3 + 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-3 + 4i - 6i + 8i2 = -3 + 4i - 6i - 8 = -11 - 2i
5 (1 + 2i) ? (-3 + 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 + 4i + 4i2 = 1 + 4i + 4 · (-1) = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i
6 (1 + 2i)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complexe getallen optellen
Om de som van twee complexe getallen te berekenen, tellen we de reële delen en de imaginaire
delen op:
(7 - 2i) + (2 + 3i) = (7 + 2) + (-2 + 3)i
=9+i
De voorstellingen van de getallen en hun som in het complexe vlak zijn drie hoekpunten van een
parallellogram met de oorsprong als vierde hoekpunt.
y
2 + 3i
9+i
1
0
x
1
7 - 2i
15
Paragraaf 1
Complexe getallen
10
Bereken.
1 (2 - 3i) + (4 + 3i) = . .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .. . . . . .i
...........................................
6 (3 - 2i) + (4 + i) = . .7
. . . . . .. . . . . . 5i
........................................
2 (-2 - i) + (3 - 4i) = . .1
. . . . . .+
. . . . . . 4i
......................................................
7 5i + (2 - i) = . . . 2
. . . . . . . . . .. . . . . .7i
..............................
3 (-2 - 5i) + (-5 - 2i) = . . -7
. . . . . . .. . . . . .i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 3 + (3 - i) = . . . 6
. . . . . . . . . .. . . . . .i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 -3 + (2 - i) = . .-1
...........................................................................
9 2i + 5i = . . . 7i
..........................................................
5 (1 + i) + i = . .1. . . . . .+. . . . . .2i
.....................................................
10 (2 - i) + (-2 + i) = . . .0
11
Teken de sommen in het complexe vlak en verbind de opeenvolgende punten.
y
1 (2 + i) + (1 + 2i)
2
2 (1 + 2i) + (-1 + 2i)
3
1
-1 + 2i
3 (-1 + 2i) + (-2 + i)
-2 + i
4 (-2 + i) + (-2 - i)
2+i
1
4
8
0
5 (-2 - i) + (-1 - 2i)
x
1
-2 - i
6 (-1 - 2i) + (1 - 2i)
7 (1 - 2i) + (2 - i)
1 + 2i
2-i
-1 - 2i
1 - 2i
7
5
8 (2 - i) + (2 + i)
6
Complexe getallen aftrekken
Twee complexe getallen waarvan de som gelijk is aan nul, noemen we tegengestelde complexe
getallen: (a + bi) + (-a - bi) = 0
16
We noteren:
-(a + bi) = -a - bi
We lezen:
het tegengestelde van a + bi is -a - bi
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
De voorstellingen van a + bi en -a - bi liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.
y
a + bi
b
1
-a
0
1
x
a
-b
-a - bi
Verschil van twee complexe getallen
Om het verschil van twee complexe getallen te berekenen, tellen we het eerste complex getal en het
tegengestelde van het tweede complex getal op:
(8 + 5i) - (4 - 7i) = (8 + 5i) + (- 4 + 7i)
tegengestelde van 4 – 7i
= 4 + 12i
complexe getallen optellen
12
Bepaal voor het complex getal zijn tegengestelde en stel beide getallen voor in het complexe vlak.
complex getal
tegengestelde
complex getal
1
5 + 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
2
-5 + 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
3
5 - 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
4
-5 - 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
5
3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
6
-5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
-5 - 3i
y
-5 + 3i
5 - 3i
-5 + 3i
3i
5 + 3i
1
-5
0
1
5
x
5 + 3i
-3i
-5 - 3i
-3i
5 - 3i
5
17
Paragraaf 1
Complexe getallen
13
Bereken.
5 + 3i - 7 - 2i = -2 + i
1 (5 + 3i) - (7 + 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 + 3i - 5 - 3i = 0
2 (5 + 3i) - (5 + 3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 - 3i - 4 - 3i = -2 - 6i
3 (2 - 3i) - (4 + 3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-2 - 5i + 5 + 2i = 3 - 3i
4 (-2 - 5i) - (-5 - 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ i - 6 + i = 2i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 (6 + i) - (6 - i) = 6
1 + i - i = 1
6 (1 + i) - i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-3 - 2 + i = -5 + i
7 -3 - (2 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5i - 2 + i = -2 + 6i
8 5i - (2 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-3i
9 2i - 5i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-1 - 4i + 2 + 4i = 1
10 (-1 - 4i) - (-2 - 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Teken de verschillen in het complexe vlak en verbind de opeenvolgende punten.
1(2 + i) - (1 + 2i)
-1 + 2i
y
4
1 + 2i
2(1 + 2i) - (-1 + 2i)
3(-1 + 2i) - (-2 + i)
4(-2 + i) - (-2 - i)
-2 + i
5
6
0
-2 - i
x
1
1
7
7(1 - 2i) - (2 - i)
8(2 - i) - (2 + i)
18
2+i
2
5(-2 - i) - (-1 - 2i)
6(-1 - 2i) - (1 - 2i)
3
1
-1 - 2i
8
1 - 2i
2-i
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
Complexe getallen vermenigvuldigen
Het product van twee complexe getallen kunnen we berekenen zoals het product van twee
tweetermen waarbij we i 2 vervangen door -1:
(1 + 2i) ? (3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i 2
= 3 + 4i + 6i - 8
= -5 + 10i
Machten van complexe getallen
Machten van complexe getallen met een natuurlijke exponent kunnen we berekenen zoals
machten van tweetermen.
Voorbeelden
(1 + 2i)2 = 1 + 4i + 4i 2
= 1 + 4i - 4
kwadraat van een tweeterm
i 2 = –1
= -3 + 4i
(1 + 2i)3 = (1 + 2i)2(1 + 2i)
product van machten
= (-3 + 4i)(1 + 2i)
zie vorig voorbeeld: (1 + 2i)2 = –3 + 4i
= -3 - 6i + 4i + 8i 2
distributieve eigenschap
= -3 - 6i + 4i - 8
i2 = –1
= -11 - 2i
i 4 = i 2 ? i 2
= (-1) ? (-1)
product van machten
i2 = –1
=1
15
Bereken.
6 + 2i - 12i - 4i2 = 6 + 2i - 12i + 4 = 10 - 10i
1 (2 - 4i) (3 + i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 - 6i + 5i - 6i2 = 5 - 6i + 5i + 6 = 11 - i
2 (1 + i) (5 - 6i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 + 21i + 2i + 6i2 = 7 + 21i + 2i - 6 = 1 + 23i
3 (-7 - 2i) (-1 - 3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 + 4i - 10i - 2i2 = 20 + 4i - 10i + 2 = 22 - 6i
4 (-4 + 2i) (-5 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Paragraaf 1
Complexe getallen
2
. . . . . . . .+
. . . . . .4i
. . . . . . . . .=
. . . . . . 8i
. . . . . . . .. . . . . .4
. . . . . .=
. . . . . . -4
. . . . . . . . . .+
. . . . . .8i
...................................................................................................................
5 2i ? (4 + 2i) = . . .8i
28 - 28i
6 (4 - 4i) ? 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 (-5 - 6i) ? 2i =
-10i - 12i2 = -10i + 12 = 12 - 10i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8i
8 -4i ? (-2) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-16i2 = 16
9 8i ? (-2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9i + 9i2 = 9i - 9 = -9 + 9i
10 (-3 - 3i) ? (-3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Bereken.
9 - 4i2 = 9 + 4 = 13
1 (3 - 2i)(3 + 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 + 6i + i2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i
2 (3 + i)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 (3 - 7i)(-3 - 7i) =
49i2 - 9 = -49 - 9 = -58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 - 12i + 9i2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i
4 (2 - 3i)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 - 49i2 = 4 + 49 = 53
5 (2 – 7i)(2 + 7i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
(
2 -i
)(
)
2 +i =
2 - i2 = 2 + 1 = 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 + 2i + i2 = 1 + 2i - 1 = 2i
7 (1 + i)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1 + i)2 (1 + i) = (1 + 2i + i2) (1 + i) = (1 + 2i -1) (1 + i)
8 (1 + i)3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= 2i(1 + i) = 2i + 2i2 = 2i - 2 = -2 + 2i
.............................................................................................................................................................................................................................
(2 - 4i)2 (2 - 4i) = (4 - 16i + 16i2) (2 - 4i)
9 (2 – 4i)3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= (4 - 16i - 16) (2 - 4i) = (-12 - 16i) (2 - 4i) = -24 + 48i - 32i + 64i2
.............................................................................................................................................................................................................................
=
. . . . . . .-24
. . . . . . . . . . . . .+
. . . . . .48i
. . . . . . . . . . .. . . . . . 32i
. . . . . . . . . . .. . . . . . 64
. . . . . . . . . .=
. . . . . . -88
. . . . . . . . . . . . .+
. . . . . . 16i
..............................................................................................................................
(2 - i)2 (2 - i)2 = (4 - 4i + i2) (4 - 4i + i2)
10 (2 – i)4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= (4 - 4i -1) (4 - 4i - 1) = (3 - 4i) (3 - 4i) = 9 - 12i - 12i + 16i2
.............................................................................................................................................................................................................................
= 9 - 24i - 16 = -7 - 24i
.............................................................................................................................................................................................................................
20
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
17
Bereken de machten van de imaginaire eenheid.
i
1 i 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i4 · i2 = 1 · (-1) = -1
6 i 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-1
2 i 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i4 · i3 = 1 · (-i) = -i
7 i 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i2 · i = (-1) · i = -i
3 i 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i2)6 = (-1)6 = 1
8 i 12 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i2 · i2 = (-1) · (-1) = 1
4 i 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i24 · i = (i2)12 · i = (-1)12 · i = i
9 i 25 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i4 · i = 1 · i = i
5 i 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i2)111 = (-1)111 = -1
10 i 222 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toegevoegde complexe getallen
Twee complexe getallen met gelijke reële delen en tegengestelde imaginaire delen, noemen we
toegevoegde complexe getallen.
We noteren: a + bi = a - bi
We lezen:
het toegevoegde complex getal van a + bi is a - bi
De voorstellingen van a + bi en a - bi liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as.
y
a + bi
b
1
0
a
1
-b
x
a - bi
Voorbeelden
5 + 2i = 5 - 2i
i = -i
i=0+1?i
3 = 3
3=3+0?i
Product van toegevoegde complexe getallen
Het product van twee toegevoegde complexe getallen is een reëel getal:
(5 + 2i) ? (5 - 2i) = 25 - 4i 2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
= 25 + 4 = 29
21
Paragraaf 1
Complexe getallen
18
Bepaal voor het complex getal zijn toegevoegde en stel beide getallen voor in het complexe vlak.
complex getal
toegevoegde
complex getal
1
5 + 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
2
-5 + 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
3
5 - 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
4
-5 - 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
5
3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
6
-5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
5 - 3i
y
-5 + 3i
-5 - 3i
3i
5 + 3i
1
5 + 3i
-5
0
x
1
-5 + 3i
-3i
-5 - 3i
-3i
5 - 3i
-5
19
Bereken het product van de toegevoegde complexe getallen.
(1 + 2i) (1 - 2i) = 1 - 4i2 = 1 + 4 = 5
1 (1 + 2i) (1 + 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5 - 7i) (5 + 7i) = 25 - 49i2 = 25 + 49 = 74
2 (5 - 7i) (5 - 7i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(-3 + 4i) (-3 - 4i) = 9 - 16i2 = 9 + 16 = 25
3 (-3 + 4i) (-3 + 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(-4 - 6i) (-4 + 6i) = 16 - 36i2 = 16 + 36 = 52
4 (- 4 - 6i) (- 4 - 6i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5i · (-5i) = -25i2 = 25
5 5i ? 5i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1 + i) (1 - i) = 1 - i2 = 1 + 1 = 2
6 (1 + i) (1 + i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 · 3 = 9
7 3 ? 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i · (-i) = -i2 = -(-1) = 1
8 i ? i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Toon aan dat de som en het product van twee toegevoegde complexe getallen reële getallen zijn.
(a + bi) + (a - bi) = a + bi + a - bi = 2a ∈ R
(a + bi) + (a + bi) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a + bi) (a - bi) = a2 - b2i2 = a2 + b2 ∈ R
(a + bi)(a + bi) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
Complexe getallen delen
Om het quotiënt van twee complexe getallen te berekenen, vermenigvuldigen we deeltal en deler
met het toegevoegde complex getal van de deler. Zo verkrijgen we een reëel getal als deler.
- 5 + 5 i (- 5 + 5i )(1 - 2i )
=
1 + 2i
(1 + 2i )(1 - 2i )
toegevoegde complex getal van 1 + 2i is 1 – 2i
=
- 5 + 10i + 5i - 10i 2
1 - 4i 2
distributieve eigenschap
product van toegevoegde tweetermen
=
- 5 + 10i + 5i + 10
1+ 4
i 2 = –1
=
5 + 15i
5
= 1 + 3i
Merk op
Het omgekeerde complex getal van a + bi noteren we als (a + bi)-1 : (a + bi)-1 =
1
a + bi
21
Bereken.
1
1
1 · (-i)
-i
= -i
= -i2 =
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
i · (-i)
-i
i
2
2
(-3 - 2i) (-5i)
−3 - 2i
= 15i - 10 = - 10 + 15 i = - 2 + 3 i
= 15i + 10i
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
25
5
25 25
5
5i · (-5i)
5i
-25i
3
(4 - 7i) (-6i)
4 - 7i
-24i + 42i2 -24i - 42 = - 42 - 24 i = - 7 - 2 i
= .........................................=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
........................................................................................................................
36
6i · (-6i)
36 36
6
3
6i
-36i2
4
1 · (1 - i)
1
1 - i
1 - i
= 1 - i2 =
=
= 1 - 1 i
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
+
1
2
(1 + i) (1 - i) 1 - i
2
1+i
2
5
i · (3 + 2i)
i
2 . . . . . . . .3
+ 3i . . . . . .- + 2i2 . . . . . . 3i
- 2 . . . . . .-2
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=. . . . . .3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . .+
. . . . . i
.................................
2
13 13
(3 - 2i) (3 + 2i)
13
9 + 4
3 - 2i
9 - 4i
6
(8 + i) (4 - i)
8+i
- i2 = 32 - 8i + 4i + 1 = 33 - 4i
= 32 - 8i + 4i
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 + 1
(4 + i) (4 - i)
17
4+i
16 - i2
= 33 - 4 i
17 17
.............................................................................................................................................................................................................................
23
Paragraaf 1
7
Complexe getallen
2
-2 + 3i
(-2 + 3i) (1 + 2i)
-2 - 4i + 3i - 6
= -2 - 4i + 3i2 + 6i =
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 + 4
(1 - 2i) (1 + 2i)
1 - 2i
1 - 4i
= -8 - i = - 8 - 1 i
5
5
5
.............................................................................................................................................................................................................................
8
2
(1 + i) (3 + i)
1+i
= 3 + i + 3i2 + i = 3 + i + 3i - 1 = 2 + 4i
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3 - i) (3 + i)
9 + 1
10
3-i
9 - i
= 2 + 4 i = 1 + 2 i
5
5
10 10
.............................................................................................................................................................................................................................
9
2
5-i
(5 - i) (1 - i)
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= 5 - 5i - 2i + i = 5 - 5i - i - 1 = 4 - 6i = 2 - 3i
1 + 1
(1 + i) (1 - i)
2
1+i
1- i
.............................................................................................................................................................................................................................
10
2
1 - 2i
(1 - 2i) (2 - 3i)
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= 2 - 3i - 4i2+ 6i = 2 - 3i - 4i - 6 = -4 - 7i
13
4 + 9
(2 + 3i) (2 - 3i)
2 + 3i
4 - 9i
= - 4 - 7 i
13 13
.............................................................................................................................................................................................................................
22
Bereken.
1
53(2 + i)
(7 - 2i )(7 + 2i )
+ 4
106 + 53i
53
- 4i2 . . . . . .49
= . . . . .49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
......................................................
2
(2
i)
(2
+
i)
2 - i
2 - i
2-i
4 - i
2 - i
+ 53i 106 + 53 i
106 + 53i . . . . . . 106
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
.....................................................................................................................................................
5
5
4 + 1
5
2
(-3 - i )2
9 + 6i + i2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i = (8 + 6i) (-3 - i)
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-3 + i
-3 + i
(-3 + i) (-3 - i)
-3 + i
-3 + i
2
- 26i
- 8i - 18i + 6 . . . . . . -18
-24 - 8i - 18i - 6i . . . . . .-24
9 . . . . . .13
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . .- . . . . . . . . . . .. . . . . . . i
.............................
2
10
9 + 1
5
5
9 - i
3
5(-1 + 2i)
(1 + 2i )(3 + 4 i ) 3 + 4i + 6i + 8i2
= 3 + 4i + 6i - 8 = -5 + 10i =
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
5 + 10i
5(1 + 2i)
8 + 4i + 6i - 3
8 + 4i + 6i + 3i
( 4 + 3i )(2 + i )
=
(-1 + 2i) (1 - 2i) -1 + 2i + 2i - 4i2 -1 + 2i + 2i + 4
=
=
= 3 + 4i = 3 + 4 i
2
5
1 + 4
(1 + 2i) (1 - 2i)
5
5
1 - 4i
.............................................................................................................................................................................................................................
4
(1 + 2i)2
(1 - 2i)2
(1 - 2i)2 + (1 + 2i)2
1 - 2i 1 + 2i
+
=
=
+
(1 + 2i) (1 - 2i) (1 - 2i) (1 + 2i)
(1 - 2i) (1 + 2i)
1 + 2i 1 - 2i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
1 - 4i + 4i + 1 + 4i + 4i
1 - 4i - 4 + 1 + 4i - 4 . . . . . . -6
6
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . .=
. . . . . .- ...........................................
2
5
1
+
4
5
1 - 4i
24
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
1
1
1
1
1
1
=
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
1
+
2i
- 1
1 - 2i - 1
1 - 2i + i
1 + 2i + i
(1 - i )
(1 + i )
5
-1 · (-i)
-2
= -1 =
= i2 = i = i
= 1 - 1 = - 1 - 1 =
i
·
(-i)
2i
-2i
2i
2i
2i
i
1
-i
.............................................................................................................................................................................................................................
23
Gegeven zijn de complexe getallen: c1 = -2 + 3i c2 = 1 + i c3 = -2i c4 = -1
Bereken.
2
(-2 + 3i) (1 - i)
- 3i
(-2 + 3i) (1 + i)-1­ = -2 + 3i =
= -2 + 2i + 3i
1 c1 ? c2-1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1 + i) (1 - i)
1 + i
1 - i2
= -2 + 2i + 3i + 3 = 1 + 5i = 1 + 5 i
1+ 1
2
2
2
.................................................................................................................................................................................................................................
(-2i)2 - (-2 + 3i) (-1) + (1 + i)2 = 4i2 - 2 + 3i + 1 + 2i + i2
2 c32 - c1 ? c4 + c22 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= -4 - 2 + 3i + 1 + 2i - 1 = -6 + 5i
.................................................................................................................................................................................................................................
(-2 + 3i + 1 + i - 2i - 1)2 = (-2 + 2i)2 = 4 - 8i + 4i2
3 (c1 + c2 + c3 + c4)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= 4 - 8i - 4 = -8i
.................................................................................................................................................................................................................................
(-2 + 3i - 2i) ((1 + i) (-2i)) = (-2 + i) (-2i - 2i2)-1
4 (c1 + c3) ? (c2 ? c3)–1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-1
2
(-2 + i) (2 + 2i)
= -4 - 4i + 2i2 + 2i
= (-2 + i) (-2i + 2)-1 = -2 + i =
2 - 2i (2 - 2i) (2 + 2i)
4 - 4i
.................................................................................................................................................................................................................................
=
-4 - 4i + 2i - 2 -6 - 2i
=
= - 6 - 2 i = - 3 - 1 i
8
4 +4
4
8
4
8
.................................................................................................................................................................................................................................
-2 + 3i - 2 (-2 + 3i) (1 + i) - 2i
5 c1 - 2c1 ? c2 + c3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= -2 + 3i - 2 (-2 - 2i + 3i + 3i2) - 2i = -2 + 3i - 2 (-5 + i) - 2i
.................................................................................................................................................................................................................................
= -2 + 3i - 2 (-5 -i) - 2i = -2 + 3i + 10 + 2i - 2i = 8 + 3i
.................................................................................................................................................................................................................................
25
Paragraaf 1
Complexe getallen
Vierkantswortels van een negatief reëel getal
We weten dat een reëel getal kleiner dan nul geen reële vierkantswortel heeft:
x 2 = - 49 fi x œ R
We zeggen dat –49 geen vierkantswortels in R heeft.
Rekenen we met complexe getallen, dan kunnen we - 49 schrijven als:
- 49 = 49 ? (-1) = 49i 2
Er zijn twee complexe getallen waarvan het kwadraat gelijk is aan - 49:
(7i)2 = 49i 2 = - 49 en (-7i)2 = 49i 2 = - 49
De tegengestelde getallen 7i en -7i noemen we de vierkantswortels in C van - 49.
Merk op
Het wortelteken
gebruiken we uitsluitend voor de positieve vierkantswortel van een positief
reëel getal. Er bestaat geen symbool voor een vierkantswortel van een negatief reëel getal.
49 = 7
–49 = 7i
24
Bepaal de vierkantswortels in R en in C van het reëel getal.
reëel getal
1
2
3
4
25
-25
0
-1
vierkantswortels in R
..............................
5 en -5
..............................
/
..............................
0
..............................
vierkantswortels in C
..............................
5 en -5
..............................
5i en -5i
..............................
0
..............................
25
Vink elke juiste notatie aan.
1
64 = 8
2
-64 = 8i
3 - 64 = -8
26
✔
✔
4
3
-64 = - 4
5
-1 = i
6
1=1
✔
✔
/
i en -i
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
Rekenen met complexe getallen
We berekenen een vierkantswortel van –49, i 2 en
–5+5i
.
1+2i
TEXAS INSTRUMENTS
We zetten de rekenmachine in de mode a+bi.
[ MODE ] [ ▼: 6-maal = REAL ] [  = a+bi ] [ ENTER ]
▼
■
Met de toets
kunnen we een vierkantswortel in C berekenen van - 49. De machinenotatie - 49
gebruiken we niet in de wiskunde. Om complexe getallen in te voeren, gebruiken we de toets i.
[ 2ND ] [   ] –49 [ ENTER ]
■ [ 2ND ] i [ x2 ] [ ENTER ]
■ [ ( ] –5 + 5i [ ) ] [  ] [ ( ] 1 + 2i [ ) ] [ENTER ]
■
CASIO
We zetten de rekenmachine in de mode a+bi.
■
[ MENU ] [ 1: RUN ] [ SHIFT ] [ SET UP ] [ ▼: 7-maal = Real ] [ F2 = a+bi ] [ EXIT ]
Met de toets
kunnen we een vierkantswortel in C berekenen van - 49. De machinenotatie - 49
gebruiken we niet in de wiskunde. Om complexe getallen in te voeren, gebruiken we de toets i.
[ SHIFT ] [   ] –49 [ EXE ]
■ [ SHIFT ] i [ x2 ] [ EXE ]
■ [ ( ] –5 + 5i [ ) ] [  ] [ ( ] 1 + 2i [ ) ] [ EXE ]
■
27
Paragraaf 1
Complexe getallen
26
Bereken met ICT de vierkantswortels in C. Rond het reële deel en het imaginaire deel af op
3 decimalen.
2,449i
en
-2,449i
1,732i
en
-1,732i
3,162
en
-3,162
0,632i
en
-0,632i
1,581i
en
1 Vierkantswortels van -6:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Vierkantswortels van -3:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Vierkantswortels van 10:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Vierkantswortels van -0,4:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Vierkantswortels van -2,5:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-1,581i
27
Bereken met ICT. Rond het reële deel en het imaginaire deel af op 3 decimalen.
1
(6 - i )(6 + i )
18,5 + 18,5i
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1-i
4
(2 + 3i )( 4 + 5i )
0,816 + 0,578i
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5 + 4 i )(3 + 2i )
2
(−4 - i )2
-3,059 - 2,765i
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-4 + i
5
1 - 3i 1 + 3i
+
-1,6
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 + 3i 1 - 3i
1,9 - 1,3i
3 (7 - 2i)(3 + i)-1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1
1
0,008i
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
(8 - i )
(8 + i )2
28
Controleer met ICT de rekenresultaten van opdracht 23. Rond het reële deel en het imaginaire
deel af op 3 decimalen.
29
Nisse en Fiene rekenen uit dat
2 + 3i 3 1
= - i. Ze controleren hun berekeningen met een
4i
4 2
TI-rekenmachine. Het rekenscherm ziet er als volgt uit:
Waar
zit de fout?
De noemer 4i moet tussen haakjes staan:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2 + 3i) / (4i) = 0,75 - 0,5i
........................................................................................................................................................................................................................................
28
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
XX Tweedegraadsvergelijkingen
30
Instap
Gegeven is de tweedegraadsvergelijking x 2 - 6x + 10 = 0.
D = (-6)2 - 4 · 1 · 10 = 36 - 40 = -4
1 Bereken de discriminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geen.
2 Hoeveel reële oplossingen heeft de tweedegraadsvergelijking? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Toon aan met een berekening dat 3 + i en 3 - i oplossingen in C zijn van de
tweedegraadsvergelijking.
(3 + i)2 - 6(3 + i) + 10 = 9 + 6i + i2 - 18 - 6i + 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= 9 + 6i - 1 - 18 - 6i + 10 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3 - i)2 - 6(3 - i) + 10 = 9 - 6i + i2 - 18 + 6i + 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= 9 - 6i - 1 - 18 + 6i + 10 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tweedegraadsvergelijkingen met reële coëfficiënten
Een tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 met reële coëfficiënten heeft slechts reële
oplossingen als D = b 2 - 4ac ≥ 0.
Als we rekenen met complexe getallen, dan is de vierkantsworteltrekking van een negatief reëel
getal mogelijk en heeft een tweedegraadsvergelijking altijd oplossingen:
ax 2 + bx + c = 0
a, b, c Œ R en a ≠ 0
ax 2 + bx = -c
beide leden vermeerderen met –c
4a 2x 2 + 4abx = - 4ac
beide leden vermenigvuldigen met 4a
4a 2x 2 + 4abx + b 2 = - 4ac + b 2
beide leden vermeerderen met b2
(2ax + b)2 = D
volkomen kwadraat ontbinden
b2 – 4ac = D
2ax + b = w
of 2ax + b = -w
2ax = - b + w
2ax = - b - w
x=
-b + w
2a
x =
-b - w
2a
w en –w zijn vierkantswortels in C van D
beide leden vermeerderen met –b
beide leden vermenigvuldigen met 1
2a
29
Paragraaf 1
Complexe getallen
Wortelformule in C
De wortels van een tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 met reële coëfficiënten berekenen we
in C met de formules:
x1 =
–b + w
–b – w
x2 =
2a
2a
w en –w zijn vierkantswortels in C van D = b2 – 4ac
Als D > 0, dan is w = D en zijn er twee verschillende reële wortels x1 en x2.
b
Als D = 0, dan is er één reële wortel x = - .
2a Als D < 0, dan zijn er twee verschillende complexe wortels x1 en x2.
Voorbeelden
Als we tweedegraadsvergelijkingen oplossen met de wortelformule, berekenen we eerst de
discriminant.
x 2 - 6x + 10 = 0
a = 1 b = –6 c = 10
D = (- 6) 2 - 4 ? 1 ? 10
= 36 - 40 = - 4 < 0
w = 2i
-(-6) + 2i
6 + 2i
=
2 1
2
-(-6) + 2i
6 + 2i
==
=3+i
2 1
2
6 - 2i
=3-i
x2 =
2
x1 =
x 2 - 3x + 6 = 0
D = b2 – 4ac < 0
w is een vierkantswortel van –4
x1 =
–b + w
2a
x2 =
–b – w
2a
a = 1 b = –3 c = 6
D = (-3) 2 - 4 ? 1 ? 6
= 9 - 24 = -15 < 0
w = 15i
-(-3) + 15i 3 + 15i
=
= 1, 5 + 1,94i
2 1
2
-(-3) + 15i 3 + 15i
=
= 1, 5 + 1,94i
2 1
2
3 - 15i
x2 =
= 1, 5 - 1,94i
2
x1 =
D = b2 – 4ac < 0
w is een vierkantswortel van –15
x1 =
–b + w
2a
afronden op 2 decimalen
x2 =
–b – w
2a
Merk op
Als D < 0, dan zijn de twee wortels toegevoegde complexe getallen.
30
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
31
Los op in C met de wortelformule.
1 x 2 - 4x + 5 = 0
2 x 2 - 4x + 13 = 0
16 - 20 = -4
D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................................
2i
w = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................................
x1 =
4 + 2i = 2 + i
2
D = 16 - 52 = -36
w = 6i
x1 = 4 + 6i = 2 + 3i
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................................
2 - i
x2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................................
3 x 2 - 36x + 324 = 0
D = (-36)2 - 4 · 1 · 324 = 0
x2 = 2 - 3i
4 17x 2 - 2x + 1 = 0
D = 4 - 68 = -64
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
x = - -36 = 18
2
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
5 -2x 2 + 2x - 1 = 0
w = 8i
x1 = 2 + 8i = 1 + 4 i
34
17
17
x2 = 1 - 4 i
17
17
6 2x 2 + 5x + 2 = 0
....................................................................................................
D = 4 - 8 = -4
....................................................................................................
....................................................................................................
w = 2i
....................................................................................................
....................................................................................................
x1 = -2 + 2i = 1 - 1 i
-4
2
2
....................................................................................................
x2 = 1 + 1 i
2
2
....................................................................................................
....................................................................................................
7 2x 2 + 5x + 6 = 0
D = 25 - 48 = -23
....................................................................................................
w =
23i
....................................................................................................
x1 = -5 + 23i = -1,25 + 1,20i
4
....................................................................................................
x2 = -1,25 - 1,20i
....................................................................................................
D = 25 - 16 = 9
w = 3
x1 = -5 + 3 = -2 = - 1
4
4
2
x2 = -5 - 3 = -8 = -2
4
4
8 x2 - x + 1 = 0
D = 1 - 4 = -3
....................................................................................................
w =
3i
....................................................................................................
x1 = 1 + 3i = 0,5 + 0,87i
2
....................................................................................................
x2 = 0,5 - 0,87i
....................................................................................................
31
Paragraaf 1
Complexe getallen
9 4x 2 - 3x + 3 = 0
10 x 2 + 7x + 12,5 = 0
D = 9 - 48 = -39
....................................................................................................
39i
D
. . . . . . .=
. . . . . . 49
. . . . . . . . . .. . . . . .50
. . . . . . . . . .=
. . . . . .-1
.......................................................
....................................................................................................
w
. . . . . . .=
. . . . . .i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 + 39i = 0,38 + 0,78i
x
. . . . . . . . .=
1 ...........................................................................................
8
-7 + i = - 7 + 1 i
x
. . . . . . . . .=
1 ...........................................................................................
2
2
2
w =
0,38 - 0,78i
x
. . . . . . . . .=
2 ...........................................................................................
x2 = - 7 - 1 i
2
2
....................................................................................................
32
Los op in C met de meest geschikte methode.
1
1 x 2 + 18 = 0
2 x2 + 36 = 0
·2
3x2 = -7
....................................................................................................
....................................................................................................
2
x
. . . . . . . . .=
. . . . . .-36
.....................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
x = 6i
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
of
x = -6i
3 x(x - 3) = x(3x - 2)
7
x2 = - 3
x =
7 i
3
of
x = 1,53i
x = - 7 i
3
x = -1,53i
4 (x - 1)(x - 2) = -5
....................................................................................................
x2 - 3x = 3x2 - 2x
....................................................................................................
2
-2x
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .x
. . . . . .=
. . . . . .0
..................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
2x2 + x = 0
....................................................................................................
x(2x
. . . . . . . . . . . . . . . .+
. . . . . .1)
. . . . . . . .=
. . . . . .0
................................................................
....................................................................................................
x
......=
. . . . . . .0
. . . . . . . . . . . . . of
. . . . . . . . . . . . . . . . .2x
. . . . . . . . .+
. . . . . .1
. . . . . .=
. . . . . .0
..............................
....................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2x
. . . . . . . . .=
. . . . . . -1
..........................................
....................................................................................................
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x. . . . . .=. . . . . .- .............................................
2
32
2 3x 2 + 7 = 0
x2 - 2x - x + 2 = -5
x2 - 3x + 7 = 0
D = 9 - 28 = -19
w =
19 i
x1 = 3 +
2
19i = 1,5 + 2,18i
x2 = 1,5 - 2,18i
....................................................................................................
Complexe getallen in de vorm a + bi
2
1
4
5 - x2 - x - = 0
3 2 3
2
.4x
. . . . . . . . . . .+
. . . . . . 3x
. . . . . . . . . .+
. . . . . .8
. . . . . .=
. . . . . .0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·(-6)
.......................
Paragraaf 1
6 (x - 3) (x + 3) - 5(x - 2)2 = 0
x2 - 9 - 5(x2 - 4x + 4) = 0
....................................................................................................
x2 - 9 - 5x2 + 20x - 20 = 0
D
. . . . . . .=
. . . . . .9
. . . . . .......4
......·
. . . . . . .4
. . . . . .·
. . . . . .8
. . . . . .=
. . . . . .-119
......................................
....................................................................................................
w
. . . . . . .=
. . . . . . . . . .119 i
...................................................................................
....................................................................................................
x1 =
-3 + 119i
8
....................................................................................................
= -0,38 + 1,36i
....................................................................................................
x2 = -0,38 - 1,36i
-4x2 + 20x - 29 = 0
4x2 - 20x + 29 = 0
....................................................................................................
D = (-20)2 - 4 · 4 · 29 = -64
....................................................................................................
w = 8i
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
x1 = 20 + 8i = 5 + i
2
8
x2 = 5 - i
2
Tweedegraadsvergelijkingen oplossen in C
We berekenen de oplossingen in C van de tweedegraadsvergelijking x2 – 6x + 10 = 0.
TEXAS INSTRUMENTS
Met de toepassingentoets APPS kunnen we de toepassing PolySmlt 2 oproepen. In het MAIN
MENU kiezen we de optie POLY ROOT FINDER.
■
[ APPS ] [ 4: PlySmlt2 ] [ ENTER ] [ 1: POLYNOMIAL ROOT FINDER ]
We voeren de graad 2 van de vergelijking in en kiezen voor het oplossen van de vergelijking in C
(a+bi). We drukken de toets F5 (NEXT) en voeren de coëfficiënten in.
■
[ F5: NEXT ] 1 [ ENTER ] –6 [ ENTER ] 10
33
Paragraaf 1
Complexe getallen
We drukken de toets F5 (SOLVE) om de vergelijking op te lossen.
■
[ F5: SOLVE ]
De oplossingen in C van de vergelijking zijn 3 + i en 3 - i.
CASIO
In het menu EQUA kiezen we voor het submenu Polynomial.
■
[ MENU ] [ A: EQUA ] [ F2: POLY ]
We voeren de graad 2 van de vergelijking in. Daarna voeren we de coëfficiënten in. We kiezen voor
het oplossen van de vergelijking in C (Complex Mode: a+bi).
■
[ F1: 2 ] 1 [ EXE ] –6 [ EXE ] 10 [ EXE ] [ SHIFT ] [ SET UP ] [▼: 4-maal ] [ F2: a+bi ] [ EXIT ]
We drukken de toets F1 (SOLV) om de vergelijking op te lossen.
■
[ F1: SOLV ]
De oplossingen in C van de vergelijking zijn 3 + i en 3 - i.
33
Controleer met ICT de rekenresultaten van opdracht 31.
34
Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf 1
Drietermen van de tweede graad met reële coëfficiënten ontbinden in C
Als x1 en x2 de wortels in C zijn van de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 met reële
coëfficiënten, dan is: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Omdat elke tweedegraadsvergelijking in C twee verschillende of twee gelijke wortels heeft, kunnen
we elke drieterm van de tweede graad in C ontbinden in twee verschillende of twee gelijke factoren
van de eerste graad.
Voorbeeld
We ontbinden x 2 - 6x + 10 in factoren.
x 2 - 6x + 10
x2 – 6x + 10 = 0 x1 = 3 + i x2 = 3 – i
= 1(x - (3 + i))(x - (3 - i))
= (x - 3 - i)(x - 3 + i)
34
Ontbind in factoren.
1 x 2 + 2x + 10
x2 + 2x + 10 = 0 x1 = –1 + 3i x2 = –1 – 3i
........................................................................................................................................................................................
= 1(x – (–1 + 3i)) (x – (–1 – 3i))
.................................................................................................................................................................................................................................
= (x + 1 – 3i) (x + 1 + 3i)
.................................................................................................................................................................................................................................
2 2x 2 - 2x + 1
2x2 – 2x + 1 = 0 x1 = 0,5 + 0,5i x2 = 0,5 – 0,5i
........................................................................................................................................................................................
= 2(x – (0,5 + 0,5i)) (x – (0,5 – 0,5i))
.................................................................................................................................................................................................................................
= 2(x – 0,5 – 0,5i) (x – 0,5 + 0,5i)
.................................................................................................................................................................................................................................
3 x2 + 4
........................................................................................................................................................................................
= x2 – 4i2
4 = (–4)(–1) = –4i2
= (x + 2i) (x - 2i)
verschil van twee kwadraten
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
4 -2x 2 + 16x - 32
........................................................................................................................................................................................
= –2(x2 – 8x + 16)
gemeenschappelijke factor afzonderen
= –2(x – 4)2
volkomen kwadraat
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
35
Paragraaf 1
Complexe getallen
Uitdagingen
1 Op de planeet Quaternion rekent men met onze reële getallen en de gewone
vermenigvuldiging, maar ook nog met drie symbolen i, j en k die op de volgende manier
worden vermenigvuldigd:
i ? i = -1
j ? j = -1
k ? k = -1
i?j=k
j?k=i
k?i=j
Als je bovendien weet dat de vermenigvuldiging op Quaternion associatief maar niet
commutatief is, wat is dan k ? j ? i ?
(A) 1
(B) -1
(C) i
(D) j
(E) k
Vlaamse Wiskunde Olympiade
zie pagina 76
2 Gegeven is de voorstelling van een complex getal c in het complexe vlak. Bepaal via
meetkundige weg de voorstelling van:
1 c + i
3 c + 2 - i
22c
4 -c + 2i
zie pagina 76
3 Bewijs de eigenschappen voor toegevoegde complexe getallen.
1 c1 + c2 = c1 + c2
2 c1 ? c2 = c1 ? c2
Aanwijzing: stel c1 = a1 + b1i en c2 = a2 + b2i met a1, b1, a2, b2 Œ R
zie pagina 77
4 Toon aan: ( a + bi )−1 =
a
b
- 2
i
2
a +b
a + b2
2
zie pagina 77
5 Als i 2 = -1, dan is (i - i -1)-1 gelijk aan
(A) 0
(B) -2i
(C) 2i
(D) -
i
2
Vlaamse Wiskunde Olympiade
(E) i
2
zie pagina 77
3
3
6 Bereken: (1 + i ) - (1 - i )
(1 - i )3 (1 + i )3
zie pagina 78
7 Los de hogeregraadsvergelijking op in C.
1(2x - 3)(x 2 + 1) = 0
3 x 3 + 2x 2 + 3x - 6 = 0
2 x 3 - 8 = 0
4 x 4 - x 2 - 20 = 0
zie pagina 78
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