Tijdsontwikkeling van de golffunctie

Tijdsontwikkeling van de golffunctie
De ontwikkeling van de golffunctie wordt gegeven door de Schrödinger vergelijking. We willen daarvoor
eerst algemene relaties afleiden, voordat we gaan kijken naar concrete situaties.
4 Tijdsontwikkeling
De waarschijnlijkheid P (x, t) om een deeltje aan te treffen op een positie tussen x en x+dx wordt gegeven
door
P (x, t) dx = |Ψ(x, t)|2 dx.
(1)
De verandering in de tijd van P (x, t) wordt dan
d
dP (x, t)
= |Ψ(x, t)|2 .
dt
dt
(2)
Nu is
∂
∂Ψ ∂Ψ∗
∂
|Ψ|2 =
(Ψ∗ Ψ) = Ψ∗
+
Ψ.
(3)
∂t
∂t
∂t
∂t
We kunnen nu de Schrödinger vergelijking gebruiken om de tijdsafgeleide om te schrijven in een plaatsafgeleide:
∂Ψ
ih̄ ∂ 2 Ψ
i
=+
− VΨ
2
∂t
2m ∂x
h̄
∂Ψ∗
ih̄ ∂ 2 Ψ∗
i
=−
+ V Ψ∗ .
∂t
2m ∂x2
h̄
Vullen we beide vergelijkingen in Eq. (2) in, dan volgt
2
dP (x, t)
ih̄
∂ 2 Ψ∗
∗∂ Ψ
=
Ψ
−
Ψ
dt
2m
∂x2
∂x2
ih̄
∂Ψ∗
∂
∗ ∂Ψ
Ψ
−
Ψ ,
=
∂x 2m
∂x
∂x
(4)
(5)
waarbij we de term met de potentiaal V in de twee Eq. (4) tegen elkaar wegvallen. We kunnen dit
resultaat verschillende keren toepassen om elementaire relaties in de quantum mechanica af te leiden.
4 Normering van de golffunctie
De normering N van de golffunctie Ψ(x, t) wordt gegeven door
Z +∞
Z +∞
2
N =
|Ψ(x, t)| dx ≡
P (x, t) dx,
−∞
(6)
−∞
en dus de verandering in tijd
Z
+∞
dP (x, t)
dx.
dt
(7)
+∞
∂Ψ∗
Ψ
−
Ψ ≡ 0.
∂x
∂x
−∞
(8)
dN
=
dt
−∞
Gebruikmakend van Eq. (5) volgt dan
dN
ih̄
=
dt
2m
∗ ∂Ψ
Tijdsontwikkeling van de golffunctie
2
Met andere woorden, de norm van een golffunctie veranderd niet in de tijd.
4 Impuls van het systeem
In de klassieke mechanica is de impuls p van een systeem gegeven door p = mv, met v = dx/dt de snelheid
van het systeem. In de quantum mechanica kunnen we analoog een operator p̂ definiëren, waarvan de
verwachtingswaarde gegeven is door
d hxi
hpi = m
.
(9)
dt
Dan volgt
Z
∂P (x, t)
hpi = m x
dx.
(10)
∂t
Gebruiken we Eq. (5) dan vinden we
Z
∂
∂Ψ ∂Ψ∗
ih̄
x
−
Ψ dx
Ψ∗
2
∂x
∂x
∂x
Z ∗
ih̄
∂Ψ ∂Ψ
= −
Ψ∗
−
Ψ dx
2
∂x
∂x
Z
∂Ψ
dx.
= −ih̄ Ψ∗
∂x
hp̂i =
(11)
We hebben hier twee keer partiële integratie toegepast (zie de voetnoot aan het eind van deze notitie).
In de eerste regel kiezen f = x en voor g de uitdrukking tussen de haken. In de tweede regel doen we
partiële integratie met de tweede term. In beide gevallen valt de constante term weg, omdat Ψ(−∞) =
Ψ(+∞) ≡ 0.
Kijken we naar het eindresultaat, dan kunnen we de impuls operator in de quantum mechanica
definiëren als
h̄ ∂
p̂ =
.
(12)
i ∂x
Deze relatie is belangrijk, omdat alle operatoren die we in de quantum mechanica zullen tegenkomen,
gegeven worden in termen van x̂ en p̂, oftewel x en (h̄/i) ∂/∂x.
4 Waarschijnlijkheids-stroom
De verandering van de waarschijnlijkheid P (x, t) is gegeven door
dP (x, t)
∂
ih̄
∂Ψ ∂Ψ∗
=
Ψ∗
−
Ψ
dt
∂x 2m
∂x
∂x
∂
= − J(x, t),
∂x
waarbij we de waarschijnlijkheids-stroom J(x, t) gedefiniëerd hebben als
ih̄
∂Ψ∗
∂Ψ ∗
J(x, t) ≡
Ψ
−
Ψ .
2m
∂x
∂x
(13)
(14)
Dit leidt tot een behoudswet voor de waarschijnlijkheid in de quantum mechanica:
dP (x, t)
∂
+
J(x, t) = 0,
dt
∂x
Quantum Mechanica 1 – Departement Natuur- en Sterrenkunde – Universiteit Utrecht
(15)
Tijdsontwikkeling van de golffunctie
3
vergelijkbaar met behoudswetten in de hydrodynamica.
4 Paritiële integratie
De regel voor partiële integratie wordt gegeven door
Z
b
f
a
dg
dx
b Z
dx = f g −
a
a
b
df
dx
g dx.
Quantum Mechanica 1 – Departement Natuur- en Sterrenkunde – Universiteit Utrecht
(16)