WenS oude examenvragen 2008 – 2009 tot en met 2014

WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
1
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
1 Een toevallige steekproef (X1 , X2 , . . . , Xn ) van lengte n wordt getrokken uit een normale
verdeling met verwachtingswaarde µ = 0 en variantie σ 2 6= 1. Welke van de volgende
beweringen is dan correct?
A var ∑nk=1 (Xk − X n )2 = 2(n − 1)σ 4 .
B ∑nk=1 (Xk − X n )2 is χ 2 -verdeeld met n vrijheidsgraden.
C ∑nk=1 (Xk − X n )2 is χ 2 -verdeeld met n − 1 vrijheidsgraden.
D E ∑nk=1 (Xk − X n )2 = nσ 2 .
2 De toevallige veranderlijke X is chi-kwadraatverdeeld met v ∈ N vrijheidsgraden.
Welke begrenzing op P(X < 2E(X)) volgt uit de Markov-ongelijkheid?
Hint: We bedoelen wel degelijk de Markov-ongelijkheid, en niet de Chebyshevongelijkheid.
A P(X < 2E(X)) ≥
1
2
B P(X < 2E(X)) ≤
1
2
C P(X < 2E(X)) ≤
1
4v
D geen van de bovenstaande
3 Twee toevallige veranderlijken X1 en X2 zijn beide standaardnormaal verdeeld. Ze
zijn bovendien ongecorreleerd. Een derde toevallige verandelijke Y die onafhankelijk
is van X1 en van X2 , is chi-kwadraatverdeeld met 4 vrijheidsgraden. Welke van de
onderstaande uitspraken is niet waar?
A X12 + X22 +Y is chi-kwadraatverdeeld met 6 vrijheidsgraden.
B 2X12 + 3X22 is chi-kwadraatverdeeld met 5 vrijheidsgraden.
C X12 + X22 is gamma-verdeeld met parameters α = 1 en β = 2.
D E(X12 + X22 ) = var( 12 Y ).
2
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
4 De kinetische energie Ekin = 12 mV 2 van een eendimensionaal deeltje met gekende massa
m in een ideaal gas is een toevallige veranderlijke. Dat betekent dat ook zijn snelheid
V een toevallige veranderlijke is. De wet van Maxwell–Boltzmann impliceert dat 2EkTkin
χ 2 -verdeeld is met één vrijheidsgraad. Hierin is k de constante van Boltzmann, en T de
absolute temperatuur van het ideale gas (in Kelvin).
Welke van de volgende uitspraken kan correct zijn voor alle waarden van T ?
A V is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 0 en variantie
kT
m.
B V 2 is χ 2 -verdeeld met één vrijheidsgraad.
C E(Ekin ) = kT .
D var(Ekin ) = (kT )2 .
5 X en Y zijn twee onafhankelijke toevallige veranderlijken die allebei uniform verdeeld
zijn over het interval (0, 2). De waarschijnlijkheid dat max{X,Y } > 3 min{X,Y } is dan
gegeven door:
A 1/6
B 1/4
C 1/3
D 1/2
6 De (toevallige) tijd tussen het verval van twee radioactieve kernen verloopt volgens een
exponentiële verdeling met parameter β . We willen een idee krijgen van de parameter
β van een bepaald type kernen, en daartoe meten we 300 keer de tijdspanne tussen
twee vervallen. Uit deze metingen blijkt dat het steekproefgemiddelde van de tijdspanne
tussen twee vervallen gelijk is aan 2, 4. Welk van de volgende is dan een (benaderd en
tweezijdig) betrouwbaarheidsinterval voor β met betrouwbaarheidsdrempel 5%?
A ≈ (2, 13; 2, 67)
B ≈ (2, 17; 2, 63)
C ≈ (2, 36; 2, 44)
D ≈ (2, 38; 2, 42)
3
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
7 Bij het beantwoorden van een meerkeuzevraag met m mogelijke antwoorden kent Thom
het antwoord met waarschijnlijkheid p, of hij kent het antwoord niet met waarschijnlijkheid 1 − p. Als Thom het antwoord kent, dan beantwoordt hij de vraag zeker correct.
Kent hij het antwoord niet, dan gokt hij lukraak en beantwoordt daarom de vraag correct
met een waarschijnlijkheid 1/m. Als je weet dat Thom de vraag correct heeft beantwoord,
wat is dan de waarschijnlijkheid dat hij het antwoord kende?
A
m
(m−1)p+1
B p
C
mp
(m−1)p+1
D
mp
m+1
8 Beschouw een verzameling mensen van wie de haarkleur blond of zwart is, en van
wie de ogen blauw of bruin zijn. Alle mogelijke combinaties zijn in de verzameling
aanwezig. Wanneer zijn de deelverzamelingen A en B logisch onafhankelijk?
A A en B worden allebei elk apart volledig gekarakteriseerd door een haarkleur.
B A wordt volledig gekarakteriseerd door een haarkleur en B wordt volledig gekarakteriseerd door een oogkleur.
C A wordt volledig gekarakteriseerd door een haarkleur en een oogkleur en B wordt
volledig gekarakteriseerd door een oogkleur.
D A en B worden allebei elk apart volledig gekarakteriseerd door een haarkleur en
een oogkleur.
9 Het gooien van twee faire muntstukken gebeurt onafhankelijk. Noem A de gebeurtenis
dat de eerste worp kruis levert, en B de gebeurtenis dat de tweede worp kruis levert. C
is de gebeurtenis dat tweemaal dezelfde uitkomst wordt gegooid—tweemaal kruis of
tweemaal munt. Welke van de volgende uitspraken is vals?
A A en B zijn onafhankelijk.
B A en C zijn niet onafhankelijk.
C A, B en C zijn niet logisch onafhankelijk.
D De waarschijnlijkheid van C is 12 .
4
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
10 De gemeenschappelijke densiteit van twee continue veranderlijken X en Y is gegeven
door:
(
u + v als (u, v) ∈ (0, 1)2
f(X,Y ) (u, v) =
0
elders.
De densiteit van de toevallige veranderlijke Z = ln(X + 1) is dan gegeven door:
A fZ (w) = e2w − 12 ew voor w ∈ (0, ln 2), nul elders
B fZ (w) = e2w voor w ∈ (0, ln 2), nul elders
C fZ (w) = ew − 21 voor w ∈ (0, ln 2), nul elders
D fZ (w) = (1/2 + ln(w + 1))/(w + 1) voor w ∈ (0, e − 1), nul elders
11 De discrete toevallige veranderlijke X heeft als mogelijkhedenverzameling X =
{2, 3, 4, 5}, als massafunctie fX en als distributiefunctie FX . De continue toevallige
veranderlijke Y heeft als mogelijkhedenverzameling Y = [2, 3] ∪ [4, 5), als densiteit fY
en als distributiefunctie FY . We weten dat fX (x) > 0 voor alle x in X en dat fY (y) > 0
voor alle y in Y .
Welke van de onderstaande uitspraken is dan niet correct?
A P(Y ∈ A) > 0 voor alle A ⊆ Y waarvoor A 6= 0.
/
B P(X ∈ A) > 0 voor alle A ⊆ X waarvoor A 6= 0.
/
C var(E(Y )) = 0.
D FX (2) > FY (2).
E P(X ∈ [3, 4]) > P(Y ∈ [3, 4]).
12 X en Y zijn twee gezamenlijk normaal verdeelde toevallige veranderlijken met verwachtingswaarden µX = µY = 1 en covariantiematrix
2 1
M=
.
1 3
Voor de veranderlijken U = X + Y and V = X − Y is de correlatie ρ(U,V ) gegeven
door:
√
21
A 1/
B −1/21
C −1/5
D geen van de bovenstaande
5
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
13 De toevallige veranderlijken X en Y hebben een gemeenschappelijke densiteit
(
8xy als 0 < y < x < 1,
fX,Y (x, y) =
0
elders.
√
Wat is de gemeenschappelijke densiteit voor U = X Y en V = Y /X?
A
(
fU,V (u, v) =
B
C
E
16 53 − 13
3u v
0
(
fU,V (u, v) =
D
0
(
fU,V (u, v) =
9 43 13
28 u v
16 35 − 13
3u v
0
( 4 1
8u 3 v 3
fU,V (u, v) =
0
als 0 < v < 1 en 0 < u < 1
elders
als 0 < v < 1 en 0 < u <
elders
als 0 < v < 1 en 0 < u < 1
elders
als 0 < v < 1 en 0 < u <
elders
( 4 1
8u 3 v 3
fU,V (u, v) =
0
√
v
√
v
als 0 < v < 1 en 0 < u < 1
elders
14 Voor een continue toevallige veranderlijke X weten we dat E(X) = 6 en var(X) = 2.
Dan levert de Chebyshev-ongelijkheid de volgende ondergrens voor P(3 ≤ X ≤ 9):
A 2/9
B 2/3
C 7/9
D 1/3
6
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
15 Nk is de verzameling van de positieve veelvouden van k (zonder 0). Stel dat je weet dat
P(N2 ) = 1/2 en P(N3 ) = 1/3. Welke van de volgende uitspraken is waar?
A P(N6 |N2 ) > P(N6 |N3 ).
B P(N6 |N2 ) < P(N6 |N3 ).
C P(N6 |N2 ) = P(N6 |N3 ).
D er zijn onvoldoende gegevens om te bepalen welke van de twee getallen P(N6 |N2 )
of P(N6 |N3 ) het grootst is.
16 Veronderstel dat Θ̂ de maximale-likelihoodschatter is van de reëelwaardige parameter
θ . Welke van de volgende uitspraken is dan niet noodzakelijk juist?
A Θ̂ is consistent.
B g(Θ̂) is de maximale-likelihoodschatter voor de parameter g(θ ), voor elke continu
afleidbare functie g op de reële getallen.
C Θ̂ is de meest efficiënte schatter.
D Θ̂ is benaderd normaal verdeeld.
17 Welke van de volgende antwoorden geeft een (eventueel benaderend) 95% betrouwbaarheidsinterval voor de parameter θ voor een toevallige steekproef met als steekproefgemiddelde xn ?
q
xn (1−xn )
A −∞, xn + 1, 96
, wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt
n
uit een Bernoulli-verdeling Be(·|θ )
B xn − 1, 65 √1n , +∞ , wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een
normale verdeling Nm(·|θ , 1)
C xn − 1, 96 √xnn , xn + 1, 96 √xnn , wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt
uit een Poisson-verdeling Ps(·|θ )
D xn − 1, 65 √xnn , xn + 1, 65 √xnn , wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt
uit een exponentiële verdeling Exp(·|θ )
7
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
18 In een enkelvoudige lineaire regressie komt met elke predictor xk een toevallige respons
Yk overeen (k = 1, . . . , n). We nemen aan dat voldaan is aan de basisveronderstellingen
van normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit. De maximalelikelihoodmethode geeft dan een schatting B̂1,ML voor de helling β1 in de formule
Y = β0 + β1 X + ε. Welke uitspraak over Y n en B̂1,ML is dan niet correct?
A Y n en B̂1,ML zijn normaal verdeeld.
B Y n en B̂1,ML zijn toevallige veranderlijken.
C Y n en B̂1,ML zijn gecorreleerd.
D Y n en B̂1,ML zijn onafhankelijk.
19 Beschouw drie gebeurtenissen A, B en C, zo dat C = A ∩ B, zoals in de onderstaande
figuur:
C
A
B
Verder is gegeven dat P(A) > 0 en P(B) > 0, en dat de waarschijnlijkheid van A strikt
stijgt na observatie van B. Welke van de onderstaande uitspraken is dan zeker waar?
A P(C|A) > P(B).
B P(C|A) < P(B).
C P(C|A) = P(C).
D P(A|B)P(B|A) ≤ P(A)P(B).
8
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
20 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige verandelijken X en Y wordt gegeven
door
 q
p
x−1
1

+
≤ (x − 1)y ≤ 14 en 14 ≤ x−1
α
(x
−
1)y
als 16


y
y ≤1
fX,Y (x, y) =
en y < 0,


0
elders,
waarbij α de normalisatieconstante is. Zie de onderstaande figuur:
y
(0, 0)
y = 4(x − 1)
y = x−1
(1, 0)
x
(x − 1)y = 1/16
(x − 1)y = 1/4
De toevallige
veranderlijken U en V worden gedefinieerd als U =
p
(X−1)
/Y . Welke van de onderstaande uitspraken is de correcte?
V=
A fU,V (u, 1) = 2α(u + 1)u als
B fU,V (u, 1) = α(u + 1) als
1
4
1
4
p
(X − 1)Y en
≤ u ≤ 21 .
≤ u ≤ 12 .
C U en V zijn niet logisch onafhankelijk.
D U en V zijn onafhankelijk.
21 De toevallige veranderlijke X heeft een gamma-verdeling met parameters α = na en
β = b, met a > 0, b > 0 en n een natuurlijk getal (verschillend van nul).
Wat is, bij benadering, en voor voldoende grote n, de waarschijnlijkheid dat X strikt
groter is dan (n + 1)ab?
Hint: gebruik de centrale limietstelling.
A 1−Φ
pa
n
√
B 1 − Φ ( a)
√
C 1 − Φ (n na)
1
D 1 − Φ nb
E geen van de bovenstaande
9
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
22 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y wordt gegeven
door:
r

α als 1 ≤ ( x )2 + ( y )2 ≤ 1 en x > 0
3
a
b
fX,Y (x, y) =

0 elders,
waarbij α de normalisatieconstanteqis, a > 0 en b > 0. De toevallige veranderlijken R
en V worden gedefinieerd als R = ( Xa )2 + ( Yb )2 en V = aY /bX.
Welke van de onderstaande uitspraken is de correcte?
1
3
A fR,V (r, v) = α √abr
als
1+v2
B α=
≤ r ≤ 1 en v ∈ R.
1 9
abπ 4 .
C fR,V (r, v) =
α r
ab 1+v2
als
1
3
≤ r ≤ 1 en v ∈ R.
D X en Y zijn onafhankelijk.
23 De meetfout X van een sensor wordt verondersteld Nm(·|µ, σ 2 ) normaal verdeeld te zijn.
Hierbij is σ 2 een maat voor de nauwkeurigheid van de sensor. Om de nauwkeurigheid
van de sensor na te gaan wordt een steekproef van lengte n = 6 opgemeten. De resultaten
vind je in onderstaande tabel.
x1
2,36
x2
2,29
x3
2,58
x4
2,65
Welke van onderstaande antwoorden
betrouwbaarheidsinterval voor σ 2 ?
A [0; 0, 0089)
B [0; 0, 0078)
C [0; 0, 0858)
D [0; 0, 0601)
10
x5
2,57
komt
x6
2,53
overeen
met
een
95%-
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
24 De continue reële toevallige veranderlijken X en Y zijn onafhankelijk en exponentieel
verdeeld met dezelfde parameter β .
Wat is de waarschijnlijkheid P(X ≥ kY ) met k > 0?
A
1
2k
B
k
k+1
C
1
k+1
D geen van de bovenstaande
25 Beschouw drie gebeurtenissen A, B en C, zo dat C ⊆ B, zoals in de onderstaande figuur.
B
A
C
Verder is gegeven dat P(A|B) = P(A|C) en dat zowel P(A), P(B), P(C) als P(B \ C)
strikt positief zijn.
Welke van de onderstaande uitspraken is dan zeker vals?
A P(C|A) ≤ P(B|A).
B P(A|B ∩C) > P(A|B ∪C).
C P(A|Cc ∩ B) =
P(A∩B)−P(A∩C)
P(B)−P(C) .
D Als A ∩ B = 0/ dan P(A|C) = 0.
11
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
26 Op de onderstaande figuur is (een deel van) de distributiefunctie van een reële toevallige
veranderlijke X getekend.
FX (x)
1
3/4
1/2
1/8
0
1
2
3
4
x
Welke van de onderstaande gebeurtenissen heeft de grootste waarschijnlijkheid?
A X <1
B X =3
C (X − 3)2 ≥ 1
D X ∈ (3, 4]
27 De reële toevallige veranderlijke X heeft een deel van R>0 als mogelijkhedenverzameling, verwachtingswaarde E(X) gelijk aan 12 en variantie var(X) gelijk aan 1. We
beschouwen de toevallige veranderlijke Y := X3 .
Wat kunnen we zeker zeggen over
P(Y > 1)
met behulp van de Chebyshev-ongelijkheid?
A
21
25
≤ P(Y > 1) ≤ 1.
B 0 ≤ P(Y > 1) ≤
C
4
25
D
3
5
4
25 .
≤ P(Y > 1) ≤ 52 .
≤ P(Y > 1) ≤
21
25 .
E Er volgen geen grenzen op P(Y > 1) uit de Chebyshev-ongelijkheid.
12
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
√ , waarbij de toevallige
28 Beschouw de toevallige veranderlijken X = ∑ni=1 Xi 2 en Y = X−n
2n
veranderlijken Xi elk standaardnormaal verdeeld en onderling onafhankelijk zijn. Welke
van de onderstaande uitspraken is niet waar?
A X heeft een χ 2 -verdeling.
B De verdeling van Y convergeert voor n → ∞ naar de standaardnormale verdeling.
C De standaardafwijking van X is gelijk aan 2n.
D Ten minste een van de bovenstaande uitspraken is niet waar.
29 X1 , X2 , . . . , Xn+1 zijn n + 1 onafhankelijke Bernoulli-verdeelde toevallige veranderlijken
met parameter p. Definieer de toevallige veranderlijken Y1 en Y2 als Y1 := ∏ni=1 Xi en
Y2 := ∏n+1
i=2 Xi .
Waaraan is cov(Y1 ,Y2 ) gelijk?
A 0
B pn (p − pn )
C pn (1 − pn )
D pn+1 − pn
30 Twee toevallige veranderlijken X en Y voldoen aan het verband X + 12 Y = 1. Dan is de
correlatie ρ(X,Y ) gelijk aan:
A +1
B −1
C −1/2
D +1/2
E geen van bovenstaande
13
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
31 Er is geweten dat 2/5 van de studenten WenS in eerste zit slaagt voor dit vak. Van
de studenten die niet in eerste zit slagen wordt verondersteld dat ze ofwel in tweede
zit slagen ofwel niet slagen (er wordt geen rekening gehouden met studenten die
bijvoorbeeld niet deelnemen of ziek zijn). Als we een student geslaagd noemen, dan
bedoelen we hiermee dat hij ofwel in eerste, ofwel in tweede zit slaagde. Welke van de
onderstaande uitspraken is waar?
Hint: maak gebruik van de onderstaande figuur en laat p variëren tussen 0 en 1.
(G1=geslaagd in eerste zit, NG1=niet geslaagd in eerste zit, G2=geslaagd in tweede
zit, NG=niet geslaagd, G=geslaagd)
G1
2/5
0
NG1
p
G2
NG
A De waarschijnlijkheid dat een willekeurige student geslaagd is, kan kleiner zijn
dan 1/5.
B De waarschijnlijkheid dat een willekeurige student geslaagd is, is zeker groter
dan 1/2.
C De waarschijnlijkheid dat een geslaagde student in eerste zit slaagde, is zeker
groter dan 1/2.
D De waarschijnlijkheid dat een geslaagde student in tweede zit slaagde, kan groter
zijn dan 1/2.
32 X is de verzameling van alle toevallige veranderlijken. Dus is X 2 de verzameling van
alle koppels toevallige veranderlijken. Noem L ⊆ X 2 de verzameling van alle logisch
onafhankelijke koppels en noem O ⊆ X 2 de verzameling van alle onafhankelijke
koppels. Welke uitspraak is dan zinvol en correct?
A O en L zijn logisch onafhankelijk.
B O en L zijn logisch afhankelijk.
C O en L zijn onafhankelijk.
D O en L zijn afhankelijk.
14
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
33 X en Y zijn gecorreleerde gemeenschappelijk normaal verdeelde toevallige veranderlijken met E(X) = E(Y ) = 0 en covariantiematrix
√ 2
− 2
√
.
M=
2
− 2
De reële toevallige veranderlijken U en V zijn gegeven door U =
Welke van de onderstaande uitspraken is dan waar?
X−Y
√
2
en V =
X+Y
√ .
2
A U en V zijn onafhankelijk.
B De gemeenschappelijke
densiteit van (X,Y ) is gegeven door fX,Y (x, y) =
√
2 +xy 2+y2 x
1
, voor (x, y) ∈ R2 .
4π exp −
2
C De correlatie tussen X en Y is gegeven door ρ(X,Y ) =
√
D var(U) = 2 − 2.
√
2
2 .
E Geen van de bovenstaande uitspraken is waar.
34 Laat X en Y twee standaardnormaal verdeelde veranderlijken zijn waarvoor geldt
dat cov(X,Y
)= 0. Beschouw de transformatie met inverteerbare transformatiematrix
α β
A :=
∈ R2×2 :
γ δ
U
X
α β
X
=A
=
.
V
Y
γ δ
Y
Welke van de volgende uitspraken is dan de sterkste uitspraak die waar is?
A U en V zijn gemeenschappelijk normaal verdeeld en onafhankelijk, ongeacht de
keuze van A.
B U en V zijn gemeenschappelijk normaal verdeeld, ongeacht de keuze van A.
C Door een gepaste keuze van A kan elke gemeenschappelijk normaal verdeelde
densiteit voor U en V verkregen worden.
D Deze vraag kan niet opgelost worden omdat X en Y niet onafhankelijk verondersteld werden.
15
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
35 X en Y zijn twee onafhankelijke continue toevallige veranderlijken die elk uniform
verdeeld zijn over [−1, 1]. De toevallige veranderlijken U en V worden gedefinieerd als
U = X +Y en V = X −Y . Welke van de onderstaande uitspraken is waar?
A fU,V (u, v) = 1/4 als |u| + |v| ≤ 2.
B U en V hebben dezelfde marginale verdelingen.
C U en V zijn onafhankelijk.
D Geen van de bovenstaande uitspraken is correct.
36 We gooien twee keer met een faire dobbelsteen, en de worpen gebeuren onafhankelijk
van elkaar. Xk is het aantal gegooide ogen van de k-de worp, met k = 1, 2. De toevallige
veranderlijke Y1 neemt de waarde 1 aan als in beide worpen hetzelfde aantal ogen wordt
gegooid, en 0 als dat niet zo is. Y2 is 0 als in beide worpen hetzelfde aantal ogen wordt
gegooid, en 1 als dat niet zo is. Y3 , ten slotte, is 1 als het absolute verschil tussen het
aantal ogen dat in beide worpen gegooid wordt gelijk is aan 1, en 0 als dat niet zo is.
Welke van de onderstaande uitspraken is dan onwaar?
A Y1 en Y2 zijn logisch afhankelijk.
B X1 en Y2 zijn onafhankelijk.
C X1 + X2 en Y3 zijn onafhankelijk.
D Y1 en Y3 −Y2 zijn afhankelijk.
E X1 en X2 zijn logisch onafhankelijk.
37 Welke van onderstaande mogelijkheden genereert in MATLAB een n × m-matrix X
van herhaalde en onderling onafhankelijke Bernoulli-steekproeven. Hierbij moet de
waarschijnlijkheid van de uitkomst 1 telkens gelijk zijn aan p en die van de uitkomst 0
telkens gelijk aan 1 − p.
A X = rand(n,m);
B X = rand(n,m) < p;
C X = randn(n,m) > p;
D X = rand(n,m) >= p;
16
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
38 Beschouw drie gebeurtenissen A, B en C, en een waarschijnlijkheidsmaat P gedefinieerd
op deze gebeurtenissen, waarvoor P(B) > 0.
Welke van de onderstaande uitspraken is altijd waar?
A Als A en B logisch onafhankelijk zijn, dan geldt P(A ∩ B) = P(A)P(B).
B Als A en B logisch onafhankelijk, B en C logisch onafhankelijk en A en C logisch
onafhankelijk zijn, dan zijn A, B en C logisch onafhankelijk.
C Als P(A) = P(A|B), dan zijn A en B logisch onafhankelijk.
D Als A, B en C logisch onafhankelijk zijn, dan zijn A ∩C en B logisch onafhankelijk.
39 Gegeven is een experiment met steekproefruimte Z. Geef aan in welk geval de gebeurtenissen A en B logisch onafhankelijk zijn.
A A := N en B := {2n : n ∈ N}
B A := N en B := {2n : n ∈ Z}
C A := {2n : n ∈ Z} en B := {2n − 1 : n ∈ Z}
D Geen van de bovenstaande.
17
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
40 Arland gaat met de tram naar school. In de volgende tabel staan, voor 15 opeenvolgende
schooldagen, hoe lang (in minuten) hij aan de tramhalte heeft gewacht:
3
6
7
13
14
8
10
9
0
10
7
1
2
14
12
Welke van de volgende figuren vat de data (wachttijden) correct samen in een kadermet-staafdiagram?
0
3
8
12
14
8
12
14
8
12
14
8
A
0
4
7.733
B
0
3
7.733
C
0
3
8
10
14
8
D
41 We beschouwen een ideaal gas van deeltjes met massa m, in een geïsoleerde container op
absolute temperatuur T . De wet van Maxwell–Boltzmann zegt dan dat we de snelheidscomponenten Vx , Vy en Vz van een willekeurige deeltje in het gas kunnen beschrijven als
onafhankelijke, normaal verdeelde toevallige veranderlijken met gemiddelde waarden 0
en varianties kT/m, waarin k de constante van Boltzmann is. Wat kun je dan zeggen over
de kinetische energie E van zo’n deeltje?
A
2E/kT
is χ 2 -verdeeld met één vrijheidsgraad.
B E is χ 2 -verdeeld met gemiddelde waarde 3/2kT .
C
2E/kT
is χ 2 -verdeeld met drie vrijheidsgraden.
D E is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 3/2kT .
18
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
42 Een toevallige veranderlijke X heeft de volgende distributiefunctie FX :
FX (z)
1
a
b
z
Welke uitspraak is altijd juist gegeven de figuur?
A E(X) ≥ b.
B E(X) = b.
C E(X) ≤ b.
D Er is onvoldoende informatie om deze vraag op te lossen.
43 Een student vindt in zijn notities van het vak Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek
het onderstaande kader-met-staafdiagram terug, maar weet niet meer van welke dataset
het afkomstig is.
0
5
1
7
4.75
De student vindt ook de vier onderstaande datasets terug.
Welke dataset stemt overeen met het kader-met-staafdiagram?
A 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10
B 0, 1, 2, 5, 6, 7, 7, 10
C 0, 0, 1, 4, 6, 7, 10, 10
D 0, 0, 1, 5, 5, 7, 10, 10
19
10
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
44 We nemen een steekproef X1 , . . . , Xn van grootte n uit een Gamma-verdeling met parameters α = 2 en β > 0. Wat is de standaardfout van de maximale-likelihoodschatter
β̂ML voor β ?
A
√β
2n
B
β
√
n
C
Xn
√
n
D
√X n
2n
E geen van de bovenstaande
45 In een distributiecentrum komen pakketjes toe tussen 8 en 17 uur, volgens een uniforme
verdeling. De verwerkingstijd (in seconden) van een pakketje kan worden gemodelleerd
als een toevallige veranderlijke S die uniform verdeeld is over het interval [1, T + 2],
waarbij de toevallige veranderlijke T de sinds 8 uur verstreken tijd is tot het arriveren
van het pakketje. T wordt hierbij uitgedrukt in uren. Een voorbeeld ter verduidelijking:
als het pakketje aankomt om 11 uur, dan is S uniform verdeeld over [1, 5] seconden,
wegens 5 = 11 − 8 + 2 . De waarschijnlijkheid dat de verwerking minder lang duurt dan
2 seconden bedraagt dan:
A
1
9
ln 10
B
2
9
ln 11
C 2/11
D 2/9
E 1/5
20
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
46 Een continue toevallige veranderlijke X heeft densiteit
(
λ e−λ z wanneer z ≥ 0,
fX (z) =
0
elders
met λ > 0. We nemen een toevallige steekproef (x1 , x2 , . . . , xn ) uit de verdeling fX .
Waaraan is de corresponderende maximale-likelihoodschatting λ̂ML van de parameter λ
dan gelijk?
A λ̂ML = 1n ∑nk xk
B λ̂ML = 1n ∑nk x1k
C λ̂ML = n/∑nk xk
p
D λ̂ML = n ∏nk xk
47 We gooien een dobbelsteen, en beschouwen de gebeurtenis A dat het aantal ogen even
is, en de gebeurtenis B dat zes ogen worden gegooid. We kunnen dan zeggen dat:
A De gebeurtenis A impliceert de gebeurtenis B.
B De gebeurtenis B impliceert de gebeurtenis A.
C De gebeurtenissen A en B sluiten elkaar uit.
D De gebeurtenissen A en B zijn logisch onafhankelijk.
48 Het aantal klanten dat binnenkomt in de winkel van Nathalie vormt een Poisson-proces
met een tempo λ̇ = 2 ln 5 per uur. We voeren, gedurende n = 100 openingsdagen, elke
dag k het volgende (onafhankelijke) experiment uit: we bepalen de tijd Tk van de opening
van de winkel tot de eerste klant binnenkomt. We spreken van een succes wanneer
die tijd ten hoogste een half uur bedraagt. De toevallige veranderlijke X is het aantal
successen: het aantal dagen dat de eerste klant binnen het eerste half uur binnenkomt.
Welke van de onderstaande uitspraken is correct?
A X is benaderend normaal verdeeld met gemiddelde waarde 20 en standaardafwijking 4.
B X is benaderend normaal verdeeld met gemiddelde waarde 80 en standaardafwijking 4.
C X is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 80 en standaardafwijking 4.
D X is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 20 en standaardafwijking 4.
21
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
49 Beschouw een steekproef X1 , X2 , . . . , X2n van grootte 2n uit een standaardnormale
verdeling, met n > 1 een natuurlijk getal. Beschouw het steekproefgemiddelde X 2n en
2 van de volledige steekproef, en het steekproefgemiddelde X
de steekproefvariantie S2n
n
en de steekproefvariantie Sn2 van de eerste n toevallige veranderlijken X1 , X2 , . . . , Xn .
Welke van de onderstaande uitspraken is vals?
2 ) = 0.
A E(Sn2 − S2n
B X 2n heeft een normale verdeling met parameters µ = 0 en σ 2 =
1
2n .
2 ) = 4n − 2.
C var(S2n
D 2X 2n − X n heeft dezelfde verdeling als X n .
2 heeft een χ 2 -verdeling met 2n − 1 vrijheidsgraden.
E (2n − 1)S2n
50 Volleybalclub ‘De vierde pas’ zal met 40% waarschijnlijkheid niet gelijkspelen in zijn
volgende wedstrijd. Welke van de volgende uitspraken is zeker juist?
A P(‘De vierde pas’ wint) = 40%.
B P(‘De vierde pas’ speelt gelijk) < 60%.
C P(‘De vierde pas’ verliest niet) ≥ 60%.
D P(‘De vierde pas’ verliest en speelt niet gelijk) ≥ 40%.
51 Van twee reële toevallige veranderlijken X en Y weten we dat E(X) = E(Y ) = 0,
var(X) = var(Y ) = 3, cov(X,Y ) = 7/3 en cov(X 2 ,Y 2 ) = 2. Waaraan is var(XY ) gelijk?
A 2
B
7
3
C
50
9
D 9
E geen van de bovenstaande
22
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
52 Drie vrienden Arne (A), Bert (B) en Caroline (C) spelen een triktraktoernooi, bestaande
uit drie opeenvolgende spellen triktrak. Triktrak is een spel dat met 2 personen gespeeld
wordt. Arne en Bert zijn er beiden even goed in; als ze tegen elkaar spelen hebben ze
elk een waarschijnlijkheid van 1/2 om te winnen. Caroline is veel beter in triktrak dan
Arne en Bert. Als zij tegen één van hen speelt, heeft Caroline een waarschijnlijkheid
van 2/3 om te winnen.
Het eerste spel gaat tussen Arne en Bert. Voor het tweede en derde (laatste) spel, speelt
de winnaar van het vorige spel tegen diegene die niet meespeelde in dat spel.
De winnaar van het toernooi is diegene die het laatste spel wint. Als je weet dat Bert
het toernooi niet won, wat is dan de waarschijnlijkheid dat Arne het toernooi won?
Hint: Teken de waarschijnlijkheidsboom.
A 4/9
B 1/2
C 5/13
D 5/8
53 Beschouw twee onafhankelijke reële toevallige veranderlijken X1 en X2 , en twee transformaties g1 en g2 van de reële getallen. Definieer de reële toevallige veranderlijken
Y1 = g1 (X1 ) en Y2 = g2 (X2 ). Wat is dan de sterkste ware uitspraak?
A Y1 en Y2 zijn onafhankelijk.
B Y1 en Y2 zijn niet onafhankelijk.
C Y1 en Y2 zijn gecorreleerd.
D Y1 en Y2 zijn niet gecorreleerd.
54 De toevallige veranderlijke Y is exponentieel verdeeld met parameter µ. Van de toevallige veranderlijke X kennen we de conditionele densiteit:
(
1
exp(− xy ) als x ≥ 0 en y > 0
fX|Y (x|y) = y
0
elders,
dus conditioneel op Y = y is X exponentieel verdeeld met parameter y. Welke van de
volgende uitspraken is correct?
A E(X) = 2µ.
B E(X 2 ) = 2µ 2 .
C var(X) = 3µ 2 .
D var(X) = 2µ 2 .
23
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
55 Een faire dobbelsteen wordt herhaaldelijk geworpen tot er een 5 of een 6 verschijnt.
Wat is het gemiddelde aantal worpen (laatste worp met 5 of 6 inbegrepen)?
A 2
B 4
C 3
D 5
24
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
56 Een spel verloopt in T opeenvolgende rondes. De speler begint met score 0. In elke
ronde wordt een voorwerp met drie zijden R, G en B opgegooid. De mogelijkheden
zijn dus {R, G, B}. De waarschijnlijkheid van R is p (met p een willekeurige waarde
in [0, 1/2)), de waarschijnlijkheid van B is ook p en de waarschijnlijkheid van G is
q = 1 − 2p. Bij R verhoogt de score met 1, bij G blijft ze ongewijzigd en bij B verlaagt
ze met 1. Het spel stopt zodra de score ofwel 2 ofwel −2 heeft bereikt, of zodra G wordt
geworpen. Wat is E(T ), het verwachte aantal rondes?
Hint: kijk naar de onderstaande figuur, gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid
voor verwachtingswaarden en neem (R, R), (R, G), (R, B), G, (B, R), (B, G), (B, B) als
gebeurtenissen waarop je conditioneert.
R
2 score 2 dus STOP
p
G
R
1
q
1 uitkomst G dus STOP
p
B
p
0
G
0
q
0 uitkomst G dus STOP
R
0
p
p
G
B
−1
q
−1 uitkomst G dus STOP
p
B
−2 score −2 dus STOP
A
4p2
1−2p2
B
1+2p−4p2
1−2p2
C
1+2p
1−2p2
D geen van de bovenstaande
25
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
57 Een continue toevallige veranderlijke X ∈ (0, 1) heeft distributiefunctie FX , en een
discrete toevallige veranderlijke Y ∈ {−1, 0, 1} heeft distributiefunctie FY .
Welke van de onderstaande uitspraken is dan niet altijd waar?
A F2X (z) ≤ FX (z) voor alle z in R.
B F2Y (z) ≤ FY (z) voor alle z in R.
C FY (1) = FX (1).
D De mediaan van X 2 is niet groter dan de mediaan van X.
E FX−1 (0) = F−X (0).
58 Op de onderstaande waarschijnlijkheidsboom zijn niet alle waarschijnlijkheden ingevuld.
2p
E
p
A
1
3
B
C
D
p is een parameter die alle waarden in het interval (0, 12 ) kan aannemen.
Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar?
A P(A ∪ E) ∈ ( 12 , 1).
B P(B ∪C ∪ D|E c ) = p.
C P(Ac ∩ (D ∪ E)) = 23 p2 .
D P(Bc ) > 23 .
26
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
59 De distributiefunctie FX van de reële toevallige veranderlijke X voldoet aan F(x) ≤
FX (x) ≤ F(x) voor alle reële x, waarbij de distributiefuncties F en F in de volgende
grafiek respectievelijk zijn weergegeven met onderbroken en volle lijnen die bij discontinuïteiten slordigweg werden doorgetrokken:
1
3/4
1/2
1/4
1
2
3
4
5
Beschouw nu de gebeurtenissen A = (2 ≤ X ≤ 4) en B = (3 ≤ X ≤ 5). Er geldt dan dat:
A P(A ∪ B) = 0 kan zijn.
B De grootst mogelijke waarde voor P(A) strikt kleiner is dan deze voor P(B).
C De grootst mogelijke waarde voor P(B) strikt groter is dan de kleinst mogelijke
voor P(A ∪ B).
D P(A) in elk geval strikt groter is dan P(A ∩ B).
60 Welke van de volgende uitdrukkingen volgt uit de Markov-ongelijkheid als je weet dat
α > 0?
2
X)
A P (X−µ
>
α
≤ α12
σX
B P
(X−µX )2
σX
> α2 ≤
C P
(X−µX )2
σX2
>α ≤
D P
(X−µX )2
σX2
> α2 ≤
1
α2
1
α2
1
α2
27
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
61 We beschouwen een Poisson-proces en willen een schatting vinden voor het tempo λ .
We gaan hierbij op twee verschillende manieren te werk. In de eerste aanpak tellen we
het aantal gebeurtenissen Z dat is opgetreden gedurende een tijd T . Dit leidt tot een
maximale-likelihoodschatter Λ̂1 (Z) voor λ . [Vind hem]. In een tweede aanpak verdelen
we het tijdsinterval T in n gelijke delen, en observeren we hoeveel gebeurtenissen
Z1 , Z2 , . . . , Zn in elk van die n respectieve deelintervallen optreden. Dit leidt tot een
maximale-likelihoodschatter Λ̂2 (Z1 , Z2 , . . . , Zn ) voor λ . [Vind hem ook]. Welke van de
volgende uitspraken is dan correct?
A E(Λ̂1 (Z)) 6= E(Λ̂2 (Z1 , Z2 , . . . , Zn )).
B Λ̂2 (Z1 , Z2 , . . . , Zn ) is efficiënter dan Λ̂1 (Z).
C Λ̂2 (Z1 , Z2 , . . . , Zn ) is minder efficiënt dan Λ̂1 (Z).
D Λ̂2 (Z1 , Z2 , . . . , Zn ) is even efficiënt als Λ̂1 (Z).
62 Beschouw een discrete toevallige veranderlijke X met waardenverzameling WX =
{1, 2, 3, 4, 5} en een continue toevallige veranderlijke Y met een densiteit die positief
is op [1, 5] en 0 daarbuiten. We definiëren twee verzamelingen A en B als volgt: A =
{1, 2, 3} en B = [1, 3]. Er is geweten dat P(X ∈ A) = P(Y ∈ B).
Welke van de volgende uitspraken geldt dan niet altijd?
A E(IA (X) − IB (Y )) = 0.
B P(X ∈ A) = P(X ∈ B).
C FX (3) − FX (1− ) = FY (3− ) − FY (1).
D P(X ∈ {4, 5}) = P(Y ∈ [4, 5]).
28
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
63 Henry Cavendish (1731–1810) was een van de eersten die een waarde voor de universele
gravitatieconstante g vond door met een torsiebalans de massadichtheid van de Aarde
te meten. In de volgende tabel staan de door hem gemeten waarden voor die dichtheid
[in gram per kubieke centimeter]:
5,10
5,39
5,62
5,27
5,42
5,63
5,29
5,44
5,65
5,29
5,46
5,68
5,30
5,47
5,75
5,34
5,53
5,79
5,34
5,57
5,85
5,36
5,58
Welke van de volgende figuren vat de data (massadichtheden) correct samen in een
kader-met-staafdiagram?
5.10
5.36
5.47
5.63
5.85
5.4995
A
5.10
5.34
5.46
5.62
5.85
5.4995
B
5.10
5.34
5.46
5.63
5.85
5.4835
C
5.10
5.3
5.44
5.62
5.85
5.4835
D
64 De onafhankelijke toevallige veranderlijken X1 , X2 , X3 , X4 en X5 zijn allemaal Bernoulliverdeeld. X1 heeft parameter p = 0, X2 heeft parameter p = 1, en X3 , X4 en X5 hebben
parameter p = 31 .
Welke van de onderstaande uitspraken is niet correct?
A X3 − X4 is binomiaal verdeeld.
B 3 − X3 − X4 − X5 is binomiaal verdeeld met parameters n = 3 en p = 23 .
C 1 − X2 + X3 is Bernoulli-verdeeld.
D X2 − X1 is binomiaal verdeeld.
√
E X3 is Bernoulli-verdeeld.
29
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
65 Gegeven twee willekeurige reële toevallige veranderlijken X en Y , welke van de onderstaande uitspraken is zeker waar? (C 0 staat voor de verzameling van alle continue
functies op R.)
A (X en Y zijn onafhankelijk) ⇒ (cov(X,Y ) = var(X) var(Y ))
B (cov(X,Y ) = var(X) var(Y )) ⇒ (X en Y zijn onafhankelijk)
C ((∀a, b, c, d ∈ R)(cov(aX + b, cY + d) = 0)) ⇒ (X en Y zijn onafhankelijk)
D (X en Y zijn onafhankelijk) ⇒ (∀ f , h ∈ C 0 )(cov( f (X), h(Y )) = 0
66 Van twee reële toevallige veranderlijken X en Y weten we dat E(X) = E(Y ) = 0,
var(X) = var(Y ) = 1, ρ(X,Y ) = 2 en var(XY ) = 3. Waaraan is cov(X 2 ,Y 2 ) gelijk?
A 2
B 4
C 6
D geen van de bovenstaande
67 Van de gebeurtenissen A, B en C weten we dat A ∩ B ∩C = 0/ en dat
1
P(A ∩ B) = P(B ∩C) = P(A ∩C) ≥ .
8
Wat is de meest informatieve uitspraak over q := P(A ∪ B ∪C) die kan worden afgeleid
uit deze gegevens?
A q ∈ [ 38 , 1].
B q ∈ [0, 1].
C q ∈ [0, 58 ].
D q ∈ [ 38 , 85 ].
E geen van de bovenstaande
30
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
68 Op de onderstaande waarschijnlijkheidsboom zijn niet alle waarschijnlijkheden ingevuld.
Wat is het interval met alle mogelijke waarden voor de waarschijnlijkheid van winst die
niet in tegenspraak zijn met de gegeven waarschijnlijkheden?
1
2
2
5
winst verlies
1
5
winst verlies winst
B [3/10, 8/10]
C [3/10, 1]
D Er zijn onvoldoende gegevens om het probleem op te lossen.
69 Gegeven een reële toevallige veranderlijke X met densiteit
als − ∞ < z < ∞.
Waaraan is P(−1 < X ≤ 1) dan gelijk?
A
e−1
e
B
2e−3
2e
C
e−1
2e
D
1
2e
31
1
10
winst verlies winst verlies verlies
A [0, 8/10]
1
fX (z) = e−|z|
2
1
10
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
70 Een spel verloopt in opeenvolgende rondes. De speler begint met score nul. In elke
ronde wordt een muntstuk gegooid met waarschijnlijkheid p voor munt en q = 1 − p
voor kruis. Bij munt verhoogt de score met 1, bij kruis verlaagt ze met 1. Het spel stopt
zodra de score ofwel 2 ofwel −2 bereikt. Wat is de momentenfunctie MN (t) van het
aantal rondes N?
Hint: kijk naar de onderstaande figuur en gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid
voor verwachtingswaarden.
p
1
2 :STOP
q
p
0
0
q
p
−1
0
q
−2 :STOP
2
2
p +q
A e2t 1−2pq
B
1−2pq
e−2t −2pq
C
2pqe2t
1−2pqe2t
D geen van de bovenstaande
71 De toevallige veranderlijke X heeft een Bernoulli-verdeling met parameter p = 1/3, en
de toevallige veranderlijke Y heeft een normale verdeling met parameters µ = 1/3 en
σ 2 = 4. Welke van de onderstaande uitspraken is vals?
A Y 2 heeft een χ 2 -verdeling met parameter v = 1.
B X heeft een binomiale verdeling met parameters n = 1 en p = 1/3.
C
Y −1/3
2
is standaardnormaal verdeeld.
D 1 − X heeft een Bernoulli-verdeling met parameter p = 2/3.
E X heeft een hypergeometrische verdeling met parameters A = 2, B = 4 en n = 1.
32
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
72 Een spel verloopt in opeenvolgende rondes. De speler begint met score nul. In elke
ronde wordt een muntstuk gegooid met waarschijnlijkheid p voor munt en q = 1 − p
voor kruis. Bij munt verhoogt de score met 1, bij kruis verlaagt ze met 1. Het spel
stopt zodra de score ofwel 2 ofwel −2 bereikt. Wat is de verwachte score? [Hint:
kijk naar de onderstaande figuur en gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid voor
verwachtingswaarden]
1
2: STOP
p
p
q
0
0
q
p
0
−1 q
−2: STOP
A 2(p2 − q2 )
B 2(p2 − q2 )/(p2 + q2 )
C 0
D Geen van de bovenstaande.
33
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
73 Beschouw een reële toevallige veranderlijke met een massafunctie fX waarvoor E(X) >
0 en E(X 2 ) > 0 . Welke van de volgende functies zou een geldige momentenfunctie
MX (t) van X kunnen zijn?
A
MX (t)
1
0
t
0
t
0
t
0
t
B
MX (t)
1
C
MX (t)
1
D
MX (t)
1
34
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
74 We nemen een steekproef met grootte n = 10 uit een normale verdeling met parameters
10
2
µ en σ 2 . We weten dat ∑10
k=1 xk = 100 en ∑k=1 xk = 1225.
Welke van de volgende intervallen geeft dan een exact eenzijdig 95% betrouwbaarheidsinterval voor σ 2 ?
A [0; 63, 452)
B [0; 67, 669)
C [0; 13, 299)
D [0; 13, 656)
75 Aan een examen nemen 192 mensen deel. Elke deelnemer heeft een waarschijnlijkheid van 3/4 om te slagen, onafhankelijk van de anderen. Wat is, bij benadering, de
waarschijnlijkheid dat er (strikt) meer dan 100 mensen slagen voor dat examen?
A 1 − Φ(− 29
4)
B 1 − Φ(− 89
12 )
C 1 − Φ(− 29
24 )
√ )
D 1 − Φ(− 174
3
E geen van de bovenstaande
35
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
76 Op de onderstaande waarschijnlijkheidsboom zijn niet alle waarschijnlijkheden ingevuld.
1
3
C
1
2
A
B
D
E
Welke van de onderstaande uitspraken is altijd waar?
A P(A|Cc ) ∈ [0, 12 ].
B P(D ∪ E) = 1.
C P(B ∪C) ≥ 12 .
D P(Ac ) ≤ 12 .
77 Gegeven een continue toevallige veranderlijke X en een discrete toevallige veranderlijke
Y . Beschouw de conditionele densiteit fX|Y (·|y) waarbij geweten is dat fY (y) verschilt
van nul. Welke van onderstaande uitspraken is niet noodzakelijk waar?
A fX|Y (·|y) is uniek bepaald tot op een aftelbaar aantal waarden na.
B fX|Y (·|y) is genormeerd.
C 0 ≤ fX|Y (·|y) ≤ 1.
D fX|Y (·|y) is onafhankelijk van de waarde van y wanneer X en Y onafhankelijk
zijn.
36
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
78 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige verandelijken X en Y wordt gegeven
door:
(
2
αe− 3 x e−y als x > 0 en y > 0,
fX,Y (x, y) =
0
elders,
waar α ∈ R>0 een normalisatieconstante is. De toevallige veranderlijken U en V worden
gedefinieerd als U = X/3 en V = Y + X/3. Welke van de onderstaande uitspraken is de
correcte?
(
1
αe−u e−v als u > 0 en v > 0
A fU,V (u, v) = 3
0
elders.
(
αe−u e−v als u > 0 en v > 0
B fU,V (u, v) =
0
elders.
C U en V zijn onafhankelijk.
D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar.
79 Welke van de volgende uitspraken volgt uit de Markov-ongelijkheid voor elke reële
toevallige veranderlijke X waarvan zowel E(X) als E(X 2 ) bestaan?
A P (X ∈ (−1, 1)) ≥ 1 − E(X).
B P (X ∈ (−1, 1)) ≥ 1 − E(X 2 ).
C P (X ∈ (−1, 1)) ≤ 1 − E(X).
D P (X ∈ (−1, 1)) ≤ 1 − E(X 2 ).
80 Beschouw een toevallige steekproef X1 , X2 , . . . , Xn van grootte n uit een exponentiële
verdeling met parameter β > 0. We zijn geïnteresseerd in de parameter λ := β 2 .
Waaraan is de Fisher-informatie In (λ ) voor λ gelijk?
A
n
λ2
B
n
4λ 2
C
n
λ
D
n
2λ 4
37
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
81 Voor twee continue reële toevallige veranderlijken X en Y wordt de marginale densiteit
fX (u) van X gegeven door:
fX (u)
5/4
1
3/4
0
1/2
u
1
De conditionele densiteit fY |X (v|u) wordt gegeven door:
(
2u + 2v
fY |X (v|u) =
0
als 0 ≤ u + v < 1
elders.
Welke uitspraak is correct?
A fY (1/2) = 2/3.
B fY (1/2) = 25/12.
C fY (1/2) = 31/12.
D Geen van de bovenstaande.
82 De onafhankelijke gebeurtenissen A, B en C hebben eenzelfde waarschijnlijkheid p
waarvan we weten dat p ∈ [ 14 , 21 ]. Wat is dan de meest informatieve ware uitspraak over
q = P(A ∪ B) + P(B ∪C) + P(C ∪ A)?
21 9
A q ∈ [ 16
, 4 ].
7 3
, 4 ].
B q ∈ [ 16
C q ∈ [ 32 , 3].
D q ∈ [ 12 , 1].
E Geen enkele van de bovenstaande intervallen bevat alle mogelijke waarden van q.
38
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
83 De toevallige veranderlijke X is Poisson-verdeeld met parameter λ = 1 en de toevallige
veranderlijke Y is geometrisch verdeeld met parameter p = 1/2. Verder is gegeven dat X
en Y ongecorreleerd zijn en dat bovendien ook X 2 en Y 2 ongecorreleerd zijn.
Waaraan is var(XY ) gelijk?
A 0
B 2
C 5
D Er zijn onvoldoende gegevens om deze vraag te kunnen beantwoorden.
84 Het volgende stukje Matlab-code genereert een realisatie van een toevallige veranderlijke X.
x = sum ( randn (10 ,1).^2)
Waaraan is de verwachtingswaarde E(X) van X gelijk?
A 9
B 10
C
9
3
D
10
3
85 Linda eet enkel thuis of in haar favoriete restaurant. Op weekdagen eet ze altijd thuis.
Op zaterdagen en zondagen is de waarschijnlijkheid dat ze op restaurant gaat 23 .
Als je over een willekeurige dag weet dat Linda die dag thuis eet, wat is dan de
waarschijnlijkheid dat die dag een zaterdag is?
A
1
17
B
2
19
C
1
3
D
1
7
E geen van de bovenstaande
39
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
86 Beschouw een toevallige steekproef X1 , . . . , X20 van grootte 20 uit een standaardnormale
verdeling.
Welke van de onderstaande uitspraken over het steekproefgemiddelde X 20 en de steek2 is niet correct?
proefvariantie S20
2 ) = 1.
A E(S20
q
2 zijn ongecorreleerd.
B (X 20 )2 en S20
C X 20 heeft een normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en variantie
1
20 .
2 heeft een χ 2 -verdeling met 19 vrijheidsgraden.
D S20
87 Eva heeft tussen haar examens door nog tijd gevonden om aan een radioquiz deel te
nemen. Ze heeft hem gewonnen en mag daardoor samen met acht vriendinnen een week
op reis naar warmere oorden. Ze vindt het echter moeilijk om uit haar tien beste vriendinnen de acht te kiezen die met haar mee mogen. Daarom nummert ze haar vriendinnen
van 1 tot en met 10, stopt briefjes deze nummers in een pennenzak en trekt er willekeurig
acht nummers uit. Ze besluit de vriendinnen met de acht getrokken nummers mee te
nemen op reis. Om te oefenen voor het naderende examen waarschijnlijkheidsrekening
en statistiek maakt ze een kader-met-staafdiagram dat de acht getrokken nummers
samenvat.
1
2
8
4
5.5
Welke van de onderstaande uitspraken is niet correct?
A De vriendin met nummer 3 mag mee op reis.
B De vriendin met nummer 5 mag mee op reis.
C De vriendin met nummer 7 mag mee op reis.
D De vriendin met nummer 9 mag mee op reis.
40
10
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
88 De continue reële toevallige veranderlijke X is uniform verdeeld over het interval
[c, 2c], met c > 0. Conditioneel op X = x, met x ∈ [c, 2c], is de continue reële toevallige
veranderlijke Y uniform verdeeld over het interval [−x, x]. Wat is de waarde van de
conditionele waarschijnlijkheid P(X > 32 c|Y = −c)?
A
1
2
B
5
8
C
ln 4−ln 3
ln 2
D
ln 4−ln 3
2c
89 Beschouw een toevallige steekproef X1 , . . . , X5 van grootte 5 uit een normale verdeling
met parameters µ = 2 en σ 2 = 5. Welke van de onderstaande uitspraken is correct?
A (X1 + X2 + X3 + X4 + X5 )2 en S52 zijn gecorreleerd.
B S52 heeft een χ 2 -verdeling met 4 vrijheidsgraden.
C cov(X1 , X 5 ) < var(X 5 ).
D Geen van de bovenstaande uitspraken is correct.
90 Beschouw de discrete toevallige veranderlijken X, Y en Z. Neem aan dat overal
f(X,Y,Z) (u, v, w) > 0. Met de notatie X ⊥ Y duiden we aan dat X onafhankelijk is van Y ,
en met X ⊥ (Y, Z) dat X onafhankelijk is van de gezamelijke toevallige veranderlijke
(Y, Z). Welke van de volgende uitspraken is dan niet waar?
A X ⊥ Y en Z ⊥ (X,Y ) ⇒ X ⊥ (Y, Z).
B X ⊥ Y en Y ⊥ Z ⇒ X ⊥ Z.
C X ⊥ (Y, Z) ⇒ X ⊥ Y .
D X ⊥ Y ⇒ Y ⊥ X.
91 We gooien een dobbelsteen. We noemen A de gebeurtenis dat we een even aantal ogen
gooien, B de gebeurtenis dat we 4 of meer ogen gooien en C de gebeurtenis dat we 4 of
minder ogen gooien. Welke van de volgende uitspraken is waar?
A A, B en C zijn logisch onafhankelijk.
B A en B ∪C zijn logisch onafhankelijk.
C A ∩ B en C zijn logisch onafhankelijk.
D B \ A en C zijn logisch onafhankelijk.
41
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
92 De professor waarschijnlijkheidsleer Dr. Savage verplicht de 42 studenten die hij heeft
opgesloten in zijn martelauditorium om opeenvolgend Russische roulette te spelen
met de revolver van Lucky Luke, die een cilindrische houder heeft voor zeven kogels.
Telkens zit er één kogel in de houder en elke keer wordt de cilinder zodanig rondgedraaid
dat elk van de zeven posities van de houder ten opzichte van de loop even waarschijnlijk
is. Met welke zo nauwkeurig mogelijke benadering van de waarschijnlijkheid dat strikt
meer dan 35 studenten het overleven, sart hij de studenten (hij en jij verfoeien het
rekenen met faculteiten)?
A 0, 58725
B 0, 58706
C 0, 67038
D 0, 67003
93 Een urne bevat 10 ballen waarvan 5 rode en 5 blauwe. Hieruit worden ballen getrokken
zonder terugplaatsing. Laat Xi met i ∈ {1, 2, . . . , 10} gelijk zijn aan 1 wanneer in de i-de
trekking een rode bal wordt getrokken, 0 anders. Welke van onderstaande beweringen
is correct?
A P(X1 = X2 = 1) < P(X5 = X6 = 1).
B P(X1 = X2 = 1) = P(X5 = X6 = 1).
C P(X1 = X2 = 1) > P(X5 = X6 = 1).
D P(X5 = X6 = 1) is niet eenduidig gedefinieerd.
94 Voor een continue toevallige veranderlijke X weten we dat var(X) = 9. Hoe groot moet
a volgens de Chebyshev-ongelijkheid minstens zijn opdat
P E(X) − a ≤ X 10 ≤ E(X) + a
minstens 90% bedraagt?
A 1
B 3
√
C 90
√
D 10
42
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
95 De reële toevallige veranderlijke X heeft een continue distributiefunctie FX op R; haar
densiteit noemen we fX . Welke uitspraak is zeker onwaar?
A P(X = 0) = 0.
B fX is discontinu.
C P(X = 1) = 1.
D fX (1) = 1.
96 Herman Erikson werkt in een call-center en verwerkt elke dag 50 telefoonoproepen. De
duurtijden Di van de afzonderlijke oproepen i zijn onafhankelijk, met µDi = 5 (minuten)
en σDi = 5 (minuten). Wat is de (eventueel benaderde) waarschijnlijkheid dat de totale
duurtijd van de 50 telefoonoproepen meer dan 5 uur bedraagt?
A Φ(−10)
√
B Φ(− 10)
√
C Φ(− 2)
D Φ(−1/5)
97 De waarschijnlijkheid dat het morgen zal regenen is 40%. De waarschijnlijkheid dat het
overmorgen zal regenen is 30%. Wat is dan de meest informatieve ware uitspraak over
de waarschijnlijkheid p dat het morgen of overmorgen zal regenen?
A p ∈ [40%, 70%].
B p = 58%.
C p = 55%.
D p ∈ [30%, 70%].
43
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
98 Een spel verloopt in T opeenvolgende rondes. De (enige) speler begint met score 0. In
elke ronde wordt een voorwerp met drie zijden R, G en B opgegooid. De mogelijkheden
zijn dus {R, G, B}. De waarschijnlijkheid van R is p (met p een willekeurige waarde
in (0, 1/2)), de waarschijnlijkheid van B is ook p en de waarschijnlijkheid van G is
q = 1 − 2p. Bij R verhoogt de score met 1, bij G wordt de score op 0 gezet en bij B
verlaagt ze met 1. Het spel stopt zodra de score ofwel 2 ofwel −2 heeft bereikt. Wat is
E(T ), het verwachte aantal rondes?
Hint: kijk naar de onderstaande figuur, gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid
voor verwachtingswaarden en neem (R, R), (R, G), (R, B), G, (B, R), (B, G), (B, B) als
gebeurtenissen waarop je conditioneert.
R
2 score 2 dus STOP
R
1
p
q
p
G
0
B
0
p
G
0
q
0
p
R
0
B
−1
p
q
p
G
0
B
−2 score −2 dus STOP
A
1+2p2
2p2
B 2
C
1+2p
2p2
D geen van de bovenstaande
44
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
99 De bekende frituur Slowpatat doet mee aan een wedstrijd waarin bepaald wordt welke
van de 5 deelnemende frituren de beste is. Voor i in {1, 2, 3, 4, 5}, noemen we Ai de
gebeurtenis dat Slowpatat bij de eerste i eindigt. We nemen aan dat Slowpatat een
positieve waarschijnlijkheid heeft om op elk van de 5 plaatsen te eindigen.
Welke van de onderstaande uitspraken is dan zeker vals?
P(A2 )
A P(Ac2 ∩ A3 |A3 ) = 1 − P(A
.
3)
B P(A3 |A1 ∪ A2 ) < P(A3 |A2 ).
C P(A2 |Ac3 ∩ A5 ) = 0.
D Als P(A3 ) = 1, dan is P(A2 |A4 ) = P(A2 ).
100 Een urne bevat vijf rode en twee groene ballen. We halen de ballen een voor een uit
de urne, zonder terugplaatsing. De toevallige veranderlijke Xk is 1 wanneer de k-de
bal rood is, en anders 0, voor k = 1, . . . , 7. Welke van de onderstaande uitspraken is
onwaar?
A E(X1 ) − E(X2 X3 ) − E(X3 X4 ) + E(X5 X6 X7 ) =
1
21 .
B E(X2 X3 ) = E(X1 X2 ).
C E(X5 X6 X7 ) = E(X1 X2 X3 ).
D Ten minste een van de bovenstaande uitspraken is onwaar.
101 Welke van de volgende antwoorden geeft een correct, eenzijdig 99, 5% betrouwbaarheidsinterval voor de parameter θ voor de toevallige steekproef met als steekproefgemiddelde xn .
A (xn − 2,58 xn/n, +∞), wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een
exponentiële verdeling Exp(·|θ )
B (xn − 11,24/n, +∞), wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een
normale verdeling Nm(·|θ , 2)
√
√
C (xn − 2,58 xn/ n, +∞), wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een
Poisson-verdeling Ps(·|θ )
√
D (xn − 2,81 xn/ n, +∞), wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een
exponentiële verdeling Exp(·|θ )
45
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
102 We trekken een kaart uit een klassiek kaartenspel, en we beschouwen de gebeurtenis A
dat het getal op de kaart even is, en de gebeurtenis B dat het getal op de kaart geen zes
is. We kunnen dan zeggen dat:
A De gebeurtenis A impliceert de gebeurtenis Bc .
B De gebeurtenis Bc impliceert de gebeurtenis A.
C De gebeurtenissen A en Bc sluiten elkaar uit.
D De gebeurtenissen A en Bc zijn logisch onafhankelijk.
103 Stel dat P(A) = 1/2, P(B) = 3/5 en P(A|B) = 1/3. Dan is P(A ∩ B|B) gelijk aan:
A 1/5
B 3/10
C 1/3
D 2/15
E 1/2
104 Het aantal klanten dat binnenkomt in de winkel van Nathalie volgt een Poisson-proces.
De standaardafwijking op het aantal klanten dat tussen 9 en 10 uur binnenkomt is 2. Als
we beginnen te meten vanaf 13 uur, wat is dan de standaardafwijking op de tijd dat het
duurt voor de eerste klant na 13 uur binnenkomt?
A 15 minuten
B 30 minuten
C 7, 5 minuten
D 60 minuten
E geen van de bovenstaande
46
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
105 Een thermisch geïsoleerd vat bevat een ideaal gas. We zijn geïnteresseerd in de temperatuur T van het ideaal gas. Een maat voor de temperatuur is de snelheid van de
gasmoleculen. Onder bepaalde veronderstellingen wordt de verdeling van de snelheid
van een gasmolecule gegeven door de Maxwell–Boltzmann-verdeling. De densiteit fV
van deze verdeling wordt gegeven door:
q
 2 v2 e−v2/2a2
als v ≥ 0,
π
a3
fV (v) =
0
elders,
q
waarbij a = kT
m > 0, met k de constante van Boltzmann, T de temperatuur in het vat
en m de massa van een molecule van het ideaal gas. We nemen een toevallige steekproef
(v1 ,v2 ,. . .,vn ) van de snelheid van n moleculen. Wat is de maximale-likelihoodschatting
T̂ML (v1 , . . . , vn ) voor de temperatuur T in het vat?
q
∑ni=1 vi 2
3
q
∑ni=1 vi 2
3n
n
A
m
k
B
m
k
C
m
3kn
D
m
3k
n
∑ni=1 vi 2
∑ni=1 vi 2
47
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
106 Beschouw een toevallige steekproef X1 , X2 , . . . , Xn uit een verdeling f (·|θ ). De steekproefstatistieken A(X1 , X2 , . . . , Xn ) en B(X1 , X2 , . . . , Xn ) zijn zo gekozen dat voor elke
werkelijke waarneming x1 , x2 , . . . , xn , het interval (A(x1 , x2 , . . . , xn ), B(x1 , x2 , . . . , xn ))
een—exact en niet benaderend—corresponderend betrouwbaarheidsinterval is voor
de parameter θ met betrouwbaarheidsdrempel α in [0, 1]. Als we een waarneming
x1 , x2 , . . . , xn hebben gedaan, welke van de volgende uitspraken is dan zeker waar?
A Wanneer we onder identieke omstandigheden N steekproeven van grootte n zouden nemen en de corresponderende betrouwbaarheidsintervallen zouden bepalen,
dan zou voor grote N het percentage van de gevallen waarin θ tot het corresponderende betrouwbaarheidsinterval behoort, met zeer grote waarschijnlijkheid
dicht bij 100(1 − α)% liggen.
B Wanneer we onder identieke omstandigheden N steekproeven van grootte n zouden nemen en de corresponderende betrouwbaarheidsintervallen zouden bepalen,
dan zou voor voldoende grote N het percentage van de gevallen waarin θ tot het
corresponderende betrouwbaarheidsinterval behoort, precies 100(1 − α)% zijn.
C Wanneer we onder identieke omstandigheden N steekproeven van grootte n zouden nemen en de corresponderende betrouwbaarheidsintervallen zouden bepalen,
dan zou voor grote N het percentage van de gevallen waarin θ tot het corresponderende betrouwbaarheidsinterval behoort, met zeer grote waarschijnlijkheid
dicht bij 100α% liggen.
D De waarschijnlijkheid dat θ behoort tot (A(x1 , x2 , . . . , xn ), B(x1 , x2 , . . . , xn )) is
1 − α.
E De waarschijnlijkheid dat θ behoort tot (A(x1 , x2 , . . . , xn ), B(x1 , x2 , . . . , xn )) is α.
107 Beschouw een toevallige steekproef X1 , . . . , X10 van grootte 10 uit een normale verdeling
met parameters µ en σ 2 . Welk van de onderstaande uitspraken over het steekproefge2 is niet correct?
middelde X 10 en de steekproefvariantie S10
2 ) = σ 2.
A E(S10
2 zijn onafhankelijk.
B X 10 en S10
C X 10 heeft een normale verdeling.
2 heeft een χ 2 -verdeling met 9 vrijheidsgraden.
D S10
48
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
108 Beschouw de volgende Matlab-functie:
function res = DoeIets (n , m )
% deze functie doet iets
% invoer : n en m zijn natuurlijke getallen ( verschillend van nul )
X = randn (n , m );
Y = sum ( X .^2 ,2);
Z = Y .^2;
res = sum ( Z )/ n ;
end
Op deze manier is DoeIets een functie van n en m. We maken n groter en groter—maar
niet zo groot dat er zich numerieke fouten voordoen. Dan wordt het zeer waarschijnlijk
dat de waarde voor
DoeIets (n ,2)
dicht bij welk getal zal komen te liggen?
A 8
B 0
C 2
D 4
E geen van de bovenstaande
109 De toevallige veranderlijke Y is uniform verdeeld over het interval [0, 1]. Van de toevallige veranderlijke X kennen we de conditionele massafunctie:
( n x
n−x
als x ∈ {0, 1, . . . , n − 1, n}
x y (1 − y)
fX|Y (x|y) =
0
elders,
dus conditioneel op Y = y is X binomiaal verdeeld met kans op succes y en aantal
experimenten n > 1. Welke van de volgende uitspraken is correct?
A E(X 2 ) = n2/3 + n/6.
B E(X 2 ) = n/6.
C X is binomiaal verdeeld.
D var(X) = n/6.
49
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
110 In de cursus WenS wordt in het deel over lineaire regressie de toevallige veranderlijke
Yi = β0 + β1 xi + εi , i = 1, . . . , n ingevoerd als waarschijnlijkheidsmodel voor de i-de
meting van de grootheid Y die correspondeert met een waarde xi van de grootheid X.
De toevallige veranderlijke εi modelleert hierbij de fout op de i-de meting en wordt
verondersteld aan een aantal basisveronderstellingen te voldoen: normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit. We gebruiken nu dezelfde modellering,
maar vervangen de basisveronderstelling van onvertekendheid door de aanname dat
E(εi ) = µ > 0. We noteren de maximale-likelihoodschattingen van β0 en β1 die corresµ
µ
ponderen met de bovenstaande modellering als β̂0,ML en β̂1,ML en de schattingen die
we krijgen met de kleinstekwadratenmethode als b0 en b1 . Welke van de onderstaande
gelijkheden klopt?
µ
A β̂0,ML = b0 + µ
µ
B β̂0,ML = b0
µ
C β̂0,ML = b0 − µ
D geen van de bovenstaande
111 De reële toevallige veranderlijke X heeft een gamma-verdeling waarvan de parameter α
gelijk is aan 3/2 en de parameter β ongekend is. We nemen een steekproef (x1 , . . . , xn )
van grootte n uit deze verdeling. Wat is de maximale-likelihoodschatting B̂ML (x1 , . . . , xn )
voor de parameter β ?
A
2
3 xn
B xn
√
C π 3 xn
D geen van de bovenstaande
112 De toevallige veranderlijke X is Poisson-verdeeld met parameter λ > 0. Voor elke
mogelijke waarde k ∈ N ∪ {0} van X is de continue toevallige veranderlijke Y uniform
verdeeld over het interval [0, k + 1]. Welke van de volgende uitspraken over de marginale
densiteit fY van Y is waar?
A fY (0) = λ1 (1 − e−λ ).
B fY (y) < fY (y + 1) voor alle positieve reële y.
C fY (y) is strikt stijgend in elk open interval (k, k + 1), met k ∈ N ∪ {0}.
D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar.
50
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
113 De toevallige veranderlijke X heeft een χ 2 -verdeling met parameter v en de toevallige
veranderlijke Y is geometrisch verdeeld met parameter p. Bovendien is gegeven dat
zowel de verwachtingswaarden als de varianties van beide veranderlijken aan elkaar
gelijk zijn: µX = µY en σX2 = σY2 . Welke van de volgende uitspraken is correct?
A ν = 1 en p = 1/2.
B ν = 2 en p = 1/3.
C ν = 3 en p = 1/3.
D Er zijn onvoldoende gegevens om deze vraag te kunnen beantwoorden.
114 We beschouwen een enkelvoudige lineaire regressie van Y op X, waarbij met elke
predictor xi een toevallige respons Yi overeenkomt (i = 1, 2, . . . , n), met n > 2. We
gaan ervan uit dat alle n predictoren verschillend zijn. We nemen aan dat voldaan is
aan alle basisveronderstellingen van normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening
en homoscedasticiteit. De maximale-likelihoodmethode geeft dan schatters B̂0,ML en
B̂1,ML en schattingen β̂0,ML = B̂0,ML (y1 , y2 , . . . , yn ) en β̂1,ML = B̂1,ML (y1 , y2 , . . . , yn ) van
het intercept β0 en de helling β1 in de formule Y = β0 + β1 X + ε.
Welke van de volgende uitspraken is dan zeker waar?
n y1 +yn
A De lineaire regressielijn van Y op X gaat altijd door ( x1 +x
2 , 2 ).
B Als β̂1,ML 6= 0 dan is de lineaire regressielijn van X op Y altijd gegeven door de
vergelijking x =
β̂
1
y − 0,ML .
β̂1,ML
β̂1,ML
C De maximale-likelihoodschatters B̂0,ML en B̂1,ML zijn altijd onafhankelijk en
normaal verdeeld.
D Als de punten (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) op een rechte liggen en y1 6= y2 , dan
is de lineaire regressielijn van X op Y altijd dezelfde als de lineaire regressielijn
van Y op X.
115 De twee toevallige veranderlijken X en Y hebben verwachtingswaarden E(X) = 1
en E(Y ) = 1, varianties var(X) = 2 en var(Y ) = 2, en een correlatiecoëfficiënt
ρ(X,Y ) = −1/4. Voor de veranderlijken U = X + 2Y and V = 2X − Y is de correlatie ρ(U,V ) dan gegeven door:
A −3/2
B
√
13 6/48
√
C − 6/16
D
√
6/16
51
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
116 We hebben twee urnes u en v. In urne u liggen drie ballen met labels a, b en c, en
in urne v twee ballen met labels d en e. We kiezen urne u met waarschijnlijkheid
p ∈ (0, 1) en urne v met waarschijnlijkheid 1 − p, en nemen daarna lukraak een bal
uit de gekozen urne. De informatie, en de gebruikte notatie, zijn samengevat in de
onderstaande waarschijnlijkheidsboom.
1
3
u
p
1
3
a
b
1
3
c
1− p
v
1
2
1
2
Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar?
A P(b ∪ c|v) = 0.
B P(b ∪ c) = 23 .
C P(a ∪ d) = 21 − 61 p.
D P(b ∪ e|v) = 12 .
52
d
e
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
117 We herhalen een Bernoulli-experiment met waarschijnlijkheid p = 13 op succes op
onafhankelijke wijze tot een eerste succes optreedt. De veranderlijke N geeft aan bij
welk (het hoeveelste) experiment het eerste succes optreedt. Ik krijg na afloop van het
experiment N 2 euro. Wat is het verwachte aantal euro’s dat ik zal krijgen?
Hint: kijk naar de onderstaande waarschijnlijkheidsboom.
N=1
p
N=2
p
N=3
p
N=4
p
···
A 15
B 9
C 6
D 3
E geen van de bovenstaande
118 Van de toevallige veranderlijke X is de momentenfunctie MX gekend:

2
t

 e −1
als t ∈ R \ {0},
MX (t) =
t

1
als t = 0.
Waaraan is E(sinh(X)) gelijk?
t
−t
Hint: sinh(t) = e −e
voor alle t in R.
2
A E(sinh(X)) =
e2
2
−2
− e + e−1 − e2
B E(sinh(X)) = e2 − 2e + 2e−1 − e−2
C E(sinh(X)) =
e2
2
−2
− e + 1 − e−1 + e2
D E(sinh(X)) = e2 − 2e + 2 − 2e−1 + e−2
E E(sinh(X)) =
e−e−1
2
53
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
119 Een spel verloopt in opeenvolgende rondes. De (enige) speler begint met score S0 = 1.
In elke ronde wordt een faire dobbelsteen opgegooid. De score Si na ronde i is de
vermenigvuldiging van Si−1 en het gegooide aantal ogen, voor i ∈ N. Het spel stopt
zodra de score een even getal is. De toevallige veranderlijke T is het aantal gespeelde
rondes.
Wat is de verwachtingswaarde E(T ) van het aantal gespeelde rondes T ?
A +∞
B 2
C 1
D geen van de bovenstaande
120 Voor een continue toevallige veranderlijke X weten we dat E(X) = 5 en var(X) = 9.
Dan levert de Chebyshev-ongelijkheid de volgende ondergrens voor P(0 ≤ X 3 ≤ 10):
A 3/25
B
16/25
C
22/25
D 2/5
121 De waarschijnlijkheid dat het op een willekeurige dag in Gent zonnig is, is 1/5. Annelien,
een inwoonster van Gent, is een fervente celliste. Als het zonnig is in Gent, dan speelt
Annelien die dag zeker cello. Als het niet zonnig is in Gent, dan is de waarschijnlijkheid
dat Annelien die dag cello speelt gelijk aan 1/2.
Als je weet dat Annelien cello speelde, wat is dan de waarschijnlijkheid dat het die dag
zonnig was in Gent?
A 1/5
B 1
C 1/3
D geen van de bovenstaande
54
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
122 De volgende MATLAB-functie genereert bij elke uitvoering ervan een toevallig getal.
function k = genereer_getal
k = 0;
while ( rand > 0.3)
k = k +1;
end
end % einde van de functie
Wat is de verwachtingswaarde van dat getal?
A
7
3
B
10
3
C
3
7
D
10
7
123 In een enquête wordt aan n leerlingen van het vijfde leerjaar gevraagd om het gevoel
voor humor van hun meester te beoordelen met een heeltallige score van nul tot tien. Als
je weet dat de resultaten van deze kleine enquête zijn weergegeven in het onderstaande
kader-met-staafdiagram, wat is dan de kleinst mogelijke waarde voor n?
4
5
8
7
A 7
B 4
C 5
D 6
E geen van de bovenstaande
55
9
10
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
124 Beschouw twee reële toevallige veranderlijken X en Y . Voor elke functie g(Y ) van Y
geldt dat E(g(Y )|u) = g(u) voor elke mogelijke waarde u van X. Bovendien geldt voor
de marginale massafunctie fX van X dat:

1

 3 als z = 1,
fX (z) = 23 als z = 2,


0 anders.
Waaraan is E(e−2Y ) dan gelijk?
A 1/4
B
1 −2
+ 23 e−4
3e
C e−2/3 + 2e−4/3
D Er zijn te weinig gegevens om dit probleem op te lossen
125 De continue reële toevallige veranderlijke Y heeft een exponentiële verdeling met
parameter β = 1. Conditioneel op Y = y, met y > 0, is de continue reële toevallige
veranderlijke X normaal verdeeld met parameters µ = y en σ 2 = 1. Wat is de marginale
densiteit voor X?
1
A fX (x) = e 2 −x Φ(x − 1), x ∈ R
B fX (x) = Φ(x), x ∈ R
C fX (x) =
1
2
√1 e− 2 (x−1) ,
2π
x∈R
1
D fX (x) = e 2 −x , x ∈ R
E geen van de bovenstaande
56
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
126 Op de onderstaande figuur is (een deel van) de distributiefunctie van de reële toevallige
veranderlijke X getekend. Welke van de onderstaande uitspraken is correct?
FX (z)
1
3/4
1
2
1/4
1/8
0
1
2
3
4
z
A P(X ∈ [3, 4]) = 0.
B P(X > 4) = 0.
C P(X = 1) = 0.
D Geen van de bovenstaande uitspraken is correct.
127 De onafhankelijke toevallige veranderlijken X en Y hebben de respectieve momentenfuncties MX en MY . Dan geldt voor alle reële getallen a, b en alle reële t waarvoor de
rechterleden gedefinieerd zijn dat:
A MaX+bY (t) = aMX (t) + bMY (t)
B MaX+bY (t) = MX (at) + MY (bt)
C MaX+bY (t) = abMX (t)MY (t)
D MaX+bY (t) = MX (at)MY (bt)
57
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
128 Aan vijf studenten van de Universiteit Gent werd gevraagd om het voedsel in Resto
De Brug te beoordelen met een heeltallige score van nul tot tien. De resultaten
van deze kleine enquête zijn weergegeven in een van de onderstaande kader-metstaafdiagrammen. Als je weet dat de beoordelingen van vier studenten 2, 3, 7 en 8
waren (de beoordeling van de vijfde student is niet gegeven), welk van de onderstaande
kader-met-staafdiagrammen is dan het correcte?
0
2
3
8
10
7
8
10
7
8
7
8
4, 6
A
2
3
6
B
1
2
4
4, 4
C
1
2
3
4
D
129 Als Geert naar zijn werk rijdt, gebruikt hij daarvoor steeds de auto of de plooifiets. De
waarschijnlijkheid dat het op een willekeurige dag als Geert naar zijn werk vertrekt
regent is 16 . Als het niet regent, dan rijdt hij in 80% van de gevallen met zijn plooifiets
naar het werk en in de andere gevallen met de auto. Als het regent neemt hij altijd de
auto. Als je weet dat hij met de auto naar zijn werk reed, wat is dan de waarschijnlijkheid
dat het die dag regende toen hij naar zijn werk vertrok?
A
1
6
B
1
2
C 1
D geen van de bovenstaande
58
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
130 Een spel verloopt in een aantal opeenvolgende rondes T . De speler begint met score
S = 0. In elke ronde wordt een voorwerp met drie zijden R, G en B opgegooid. De
mogelijkheden zijn dus {R, G, B}. De waarschijnlijkheid van R is p, de waarschijnlijkheid van B is q en de waarschijnlijkheid van G is r = 1 − p − q, waarbij geldt dat
0 < p + q ≤ 1 en pq 6= 1/2. Bij R verhoogt de score S met 1, bij G blijft ze ongewijzigd
en bij B verlaagt ze met 1. Het spel stopt zodra de score ofwel 2 ofwel −2 heeft bereikt,
of zodra G wordt geworpen. Wat is E(S), de verwachte score?
Hint: kijk naar de onderstaande figuur, gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid
voor verwachtingswaarden en neem (R, R), (R, G), (R, B), G, (B, R), (B, G), (B, B) als
gebeurtenissen waarop je conditioneert.
R
2 score 2 dus STOP
p
G
R
1
r
1 uitkomst G dus STOP
q
B
p
0
G
0
r
0 uitkomst G dus STOP
R
0
q
p
G
B
−1
r
−1 uitkomst G dus STOP
q
B
−2 score −2 dus STOP
A (p − q)(1 + p + q)
B
1+p+q
1−2pq
C
(p−q)(1+p+q)
1−2pq
D geen van de bovenstaande
59
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
131 De klantbezoeken aan de winkel van Nathalie maken een Poisson-proces uit. Het
gemiddelde aantal klanten dat binnen de periode van een uur de winkel binnenstapt,
is 10. Wat weten we dan over de toevallige veranderlijke T5 , die aangeeft hoe lang
Nathalie moet wachten op haar vijfde klant van de dag?
A E(T5 ) = 20 minuten.
B var(T5 ) =
1
20
uur2 .
C T5 heeft een geometrische verdeling.
D T5 heeft een Poisson-verdeling.
132 Saskia gaat met de bus naar het werk. In de volgende tabel staan, voor 15 opeenvolgende
werkdagen, hoe lang (in minuten) ze in het bushokje heeft gewacht:
10
1
13
9
5
9
2
10
3
8
6
17
2
10
15
Welke van de volgende figuren vat de data (wachttijden) correct samen in een kadermet-staafdiagram?
1
9
3
10
17
8
A
5
1
9
13
17
9
13
17
8, 091
B
5
1
8
C
1
9
3
8, 091
D
60
10
17
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
133 Op de onderstaande waarschijnlijkheidsboom zijn niet alle waarschijnlijkheden ingevuld.
1
3
C
1
2
A
B
D
E
Welke van de onderstaande uitspraken is zeker correct?
A 0 < P(A ∩C) < 92 .
B P(C ∪ D) ≥ P(A ∪ B).
C P(E) > 31 .
D P(D) 6= P(E).
134 Op een nachtelijke wandeling door zijn dorp komt de waarlijk solide boer Bavo katjes
tegen. Het aantal katjes in het afgelegen dorp van boer Bavo is echter nogal beperkt.
Welke van de onderstaande verdelingen kan je niet uitsluiten als model voor het aantal
katjes dat boer Bavo tegenkomt?
A de exponentiële verdeling
B de Poisson-verdeling
C de normale verdeling
61
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
135 Een katapult gooit een steen die vertrekt onder een hoek Θ met de horizontale, en
daarbij een afstand R ver wordt gegooid (zie de bijgevoegde tekening).
Θ
R
De continue toevallige veranderlijke Θ kan alleen waarden aannemen in [α, 2α]. Haar
densiteit is nul in α en neemt lineair toe tot in 2α. De continue toevallige veranderlijke
R is uniform verdeeld over het interval [0, ρΘ]. Hierin zijn α en ρ vaste, gekende reële
parameters, met α ∈ (0, π8 ) en ρ > 0. Wat is de waarschijnlijkheid dat de steen niet
verder dan ρα wordt gegooid?
A 2 − 2 ln(2)
B α 2 − α 2 ln(2)
C 1 − ln(2)
D 2 ln(2) − 1
E geen van de bovenstaande
136 Wat is de waarschijnlijkheid dat driemaal na elkaar een aas getrokken wordt bij drie
opeenvolgende trekkingen zonder terugplaatsing uit een gewoon kaartspel (dus met 52
kaarten en 4 azen)?
A 3/17576
B 1/5525
C 1/28561
D 1/2197
62
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
137 Beschouw de volgende Matlab-functie:
function res = DoeIets ( n )
% deze functie doet iets
% invoer : n is een natuurlijk getal ( verschillend van nul )
X = rand (n ,1);
Y = sum ( X .^2);
res = Y / n ;
end
Op deze manier is DoeIets een functie van n. We maken n groter en groter—maar niet
zo groot dat er zich numerieke fouten voordoen.
Dan wordt het zeer waarschijnlijk dat de waarde voor
DoeIets ( n )
dicht bij welk getal zal komen te liggen?
A
1
3
B
1
12
C
1
2
D 1
E geen van de bovenstaande
138 Beschouw een toevallige steekproef X1 , . . . , X10 van grootte 10 uit een normale verdeling met parameters µ = 1 en σ 2 = 1.
Welke van de onderstaande uitspraken over het steekproefgemiddelde X 10 en de steek2 is niet correct?
proefvariantie S10
2 ) = 1.
A E(S10
q
2 zijn onafhankelijk.
B (X 10 )2 en S10
C X 10 heeft een normale verdeling met verwachtingswaarde 1 en variantie
2 heeft een χ 2 -verdeling met 9 vrijheidsgraden.
D 9S10
63
1
100 .
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
139 Een student gaat met de fiets, met de auto of te voet naar het examen Verkeerskunde.
De waarschijnlijkheid dat hij met de auto gaat is 10%, en dat hij met de fiets gaat heeft
waarschijnlijkheid 70%. De waarschijnlijkheden voor het te laat komen van de student
op zijn examen hangen af van het gekozen vervoermiddel en worden gegeven door:
P( Te laat | Fiets ) = 10%,
P( Te laat | Auto ) = 50%
P( Te laat | Te voet ) = 40%
De professor Verkeerskunde merkt dat de student te laat aankomt op zijn examen. Welke
van de volgende uitspraken is de juiste?
A P( Fiets | Te laat ) > P( Auto | Te laat ) > P( Te voet | Telaat ).
B P( Te voet | Te laat ) > P( Fiets | Te laat ) > P( Auto |Te laat ).
C P( Auto | Te laat ) > P( Te voet | Te laat ) > P( Fiets |Te laat ).
D P( Te voet | Te laat ) > P( Auto | Te laat ) > P( Fiets | Telaat ).
140 Een redelijke werkhypothese is dat conditioneel op geslacht (en etnie) de lengte van
volwassen personen normaal verdeeld is. Ga ervan uit dat er even veel volwassen mannen
als vrouwen naar de stadsbibliotheek van Gent gaan, wat is dan de waarschijnlijkheid
dat de volgende bezoeker een man met gemiddelde lengte is?
A 1/2
B 0
√
C 1/ 8πσ 2 , met σ de lengtestandaardafwijking voor mannen
D Deze vraag kan niet beantwoord worden omdat niet expliciet wordt verondersteld
dat geslacht en lengte onafhankelijk zijn.
141 De reële toevallige veranderlijke X heeft een Gamma-verdeling:
(
1
zα−1 e−z/β als z > 0,
α
fX (z) = Ga(z|α, β ) = β Γ(α)
0
elders.
De waarschijnlijkheid P(X ∈ {0, 1}) is dan gelijk aan
A 1 − Γ(α)/Γ(α+1)
B
1
−1/β
β α Γ(α) e
C 0
D Geen van de bovenstaande
64
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
142 Gegeven een reële toevallige veranderlijke X met densiteit
r !
2
1
exp − |z|
als − ∞ < z < ∞,
fX (z) = √
2
σ2
2σ
waarbij σ ∈ R en σ > 0. Waaraan is P(−σ ≤
A
√
2X < σ ) dan gelijk?
e−1
e
B 1 − 1 + √12σ 1e
C
e−1
2e
D 1 − 1 + √12 1e
143 De continue toevallige veranderlijke X is uniform verdeeld tussen 1 en 2. Van de reële
toevallige veranderlijke Y weten we dat Y = ln X. Wat is de momentenfunctie MY (t)
met haar convergentiegebied?
A MY (t) =
21+t −1
1+t
B MY (t) =
e2t −et
t
C MY (t) =
21+t −1
1+t
D MY (t) =
2t −1
t ln 2
voor t ∈ R \ {0} en MY (0) = 1
E MY (t) =
2t −1
t ln 2
voor t > 0
voor t ∈ R \ {−1} en MY (−1) = ln 2.
voor t ∈ R \ {0} en MY (0) = 1
voor t > −1
65
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
144 De zogenaamde genererende functie GX van een discrete reële toevallige veranderlijke
X ≥ 0 is gedefinieerd door:
∞
GX (z) := E(zX ) =
∑ zk fX (k),
z>0
k=0
met fX de massafunctie van X. Van een gegeven X weten we nu dat
GX (z) = ez−1 ,
z > 0.
Waaraan is E(X 2 ) dan gelijk?
A 2
B 1
C e
D 2e−1
E Er zijn onvoldoende gegevens om deze vraag te kunnen beantwoorden.
145 In een zakje zitten elf munten: een faire munt, vijf met twee kruiszijden, en vijf met
twee muntzijden. Een onschuldige kinderhand kiest een munt uit het zakje, tost er twee
keer mee, en de uitkomst is twee keer kruis. Wat is de waarschijnlijkheid dat de gekozen
munt fair was?
A 1/21
B 1/32
C 5/352
D 1/11
66
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
146 Aan zes studenten die het vak WenS gevolgd hebben, werd gevraagd om hun eigen
inzet voor dat vak te beoordelen met een score op tien. De resultaten van deze kleine
enquete zijn weergegeven in het onderstaande kader-met-staafdiagram.
0
2
3
8
10
5
Welke van de onderstaande uitspraken is correct?
A Eén van de zes studenten beoordeelde zijn eigen inzet met een score van 5.
B Eén van de zes studenten beoordeelde zijn eigen inzet met een score van 7.
C Geen enkele van de zes studenten beoordeelde zijn eigen inzet met een score van
10.
D Geen enkele van de bovenstaande uitspraken is correct.
147 Twee reële continue toevallige veranderlijken X en Y hebben een gemeenschappelijke
densiteit fX,Y (x, y) die alleen van 0 verschilt voor x > 0 en y > 0. X heeft een gammaverdeling met parameters α > 0 en β > 0. Conditioneel op X = x met x > 0, is Y
exponentieel verdeeld met parameter β/x.
Welke van de volgende uitspraken is dan waar?
A X en Y zijn onafhankelijk.
B Conditioneel op Y = y, met y > 0, heeft X een gamma-verdeling.
C De marginale densiteit van Y voldoet aan fY (y) =
α
(1+y)α
voor y > 0.
D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar.
148 Welke van de volgende matrices kan een covariantiematrix M van twee toevallige
veranderlijken X en Y zijn?
4 3
A
5 9
4 3
B
3 9
4 7
C
7 9
4 3
D
3 −1
67
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
149 De zogenaamde Erlang-verdeling heeft twee parameters k ∈ N en λ ∈ R>0 . Een toevallige veranderlijke X die Erlang-verdeeld is, heeft dan de volgende momentenfunctie:
t −k
MX (t) = 1 −
voor t < λ .
λ
Wat is var(X), de variantie van X?
A
k
λ2
B
k(k+1−λ )
λ
C
2k2 +k
λ2
D
k(k+1)
λ2
150 De toevallige veranderlijken X1 , X2 , . . . , X2n+1 zijn onafhankelijk van elkaar en standaardnormaal verdeeld. Een andere toevallige verandelijke Y die onafhankelijk is van
de X1 , X2 , . . . , X2n+1 is chi-kwadraatverdeeld met 2k vrijheidsgraden. Hierin zijn k en n
natuurlijke getallen met 0 < k ≤ n. Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar?
2
2
A var Y ∑2k
`=1 X` = 16k (k + 1).
B
1
n
∑n`=1 ∑nm=1 X` Xm is chi-kwadraatverdeeld.
C Y + ∑n`=1 X`2 is chi-kwadraatverdeeld met n + 2k vrijheidsgraden.
2
D 2nS2n+1
is gamma-verdeeld met parameters α = n en β = 2.
E fY (2) =
1
2e(k−1)! .
68
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
151 Op zijn beruchte mondelinge examen heeft Professor Sadi Massot een lijst van zes
genummerde vragen, waarbij student Innocent lukraak drie verschillende nummers
mag kiezen, zonder vooraf te weten welke vragen met deze nummers overeenkomen.
Elke vraag staat op een derde van de punten. Van die vragen gaan er 1 over deel A, 2
over deel B en 3 over deel C van de cursus. Innocent heeft enkel delen A en B grondig
gestudeerd. Hij zal dus alle vragen over die delen A en B correct beantwoorden, en een
fout antwoord geven voor alle vragen over deel C. Welke van de volgende uitspraken is
waar?
A Het verwachte aantal vragen dat Innocent juist beantwoordt, is 32 .
B De waarschijnlijkheid dat Innocent meer dan de helft van de punten heeft, is
10
21 .
C De waarschijnlijkheid dat Innocent precies één vraag juist beantwoordt, is 21 .
D De waarschijnlijkheid dat Innocent precies twee vragen juist beantwoordt, is
strikt kleiner dan 25 .
E Geen van de bovenstaande uitspraken is waar.
152 De continue toevallige veranderlijke Y is uniform verdeeld over [0, 1]. Conditioneel op
de waarde y van Y is de discrete toevallige veranderlijke veranderlijke X geometrisch
verdeeld met parameter y. Hoeveel van de volgende uitspraken zijn dan waar?
– De massafunctie f van X is gegeven door f (k) =
1
(k+1)(k+2)
voor k ∈ N ∪ {0}.
– De massafunctie f van X is gegeven door f (k) = ( 21 )k+1 voor k ∈ N ∪ {0}.
– De verwachtingswaarde van X bestaat.
– X is geometrisch verdeeld.
Hint: Een van de oplossingsmethodes gebruikt dat a(1 − a)n = (1 − a)n − (1 − a)n+1
voor a ∈ [0, 1] en gehele n ≥ 0. Herinner je ook dat limn→+∞ ∑nk=1 1k = +∞.
A 1
B 0
C 2
D 3
E 4
69
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
153 We beschouwen een urne met twee rode en drie witte ballen, en we halen op toevallige
wijze drie ballen uit de urne, zonder terugplaatsing. Noem Rk de gebeurtenis dat de k-de
bal rood is en Wk de gebeurtenis dat de k-de bal wit is, voor k = 1, 2, 3. Welke van de
volgende uitspraken is correct?
(P(W3 |R1 ∪ R2 ) is de waarschijnlijkheid dat de derde bal wit is als je weet dat bij de
tweede en derde trekkingen tenminste één rode bal verschijnt.)
A P(W3 |R1 ∪ R2 ) > P(R3 |W1 ∩W2 ) > P(W1 ).
B P(R3 |W1 ∩W2 ) > P(W3 |R1 ∪ R2 ) > P(W1 ).
C P(W3 |R1 ∪ R2 ) > P(W1 ) > P(R3 |W1 ∩W2 ).
D Geen van de bovenstaande.
154 Een reële toevallige veranderlijke X heeft een gamma-verdeling met parameters α = 1
en β > 0. Wat is de standaardfout voor de maximale-likelihoodschatter van β ?
A β/n
√
n
B β/
C
xn/n
D
xn/√n
155 Een 3D-printer produceert witte ballen volgens een Poisson-proces met een tempo
van µ > 0 ballen per uur. We laten hem gedurende een half uur werken, en gooien de
geproduceerde witte ballen in een urne, samen met een zwarte bal. Daarna laten we de
3D-printer nog eens een half uur werken, en gooien de nu geproduceerde witte ballen
ook bij de andere ballen in de urne. Katrien haalt dan op lukrake manier een bal uit die
urne. Wat is de waarschijnlijkheid dat ze er die ene zwarte bal uit haalt?
A
1−e−µ
µ
B
1
1+µ
C
1−2e−µ/2
µ
D
2
2+µ
E geen van de bovenstaande
70
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
156 De jaarlijkse maximale waterhoogte H in een rivier wordt vaak gemodelleerd met een
Gumbel-verdeling van type 2. Die heeft in vereenvoudigde vorm als densiteit
(
−4
4bh−5 e−bh
als h ≥ 0
fH (h) =
0
elders,
met b > 0 een positieve reële parameter. We nemen een steekproef (h1 , h2 , . . . , hn ) van
√
de maximale waterhoogte gedurende n jaren. Voor toepassingen is de parameter a := b
belangrijk.
Wat is de maximale-likelihoodschatting âML = ÂML (h1 , . . . , hn ) van a?
√
n
A âML = √
∑ni=1 h−4
i
√
n
ln ∑ni=1 hi
B âML = √
2
C âML =
n
∑ni=1 h−4
i
D âML =
n
2 ∑ni=1 hi
E geen van de bovenstaande
157 De continue reële toevallige veranderlijke X heeft een gamma-verdeling met parameters
α = 2 en β > 0. Conditioneel op X = x, met x > 0, is de continue reële toevallige veranderlijke Y uniform verdeeld over het interval (0, x). Welke van de volgende uitspraken
is correct?
A Y heeft een exponentiële verdeling met parameter β .
B P(X = 1) =
1 −1/β
e .
β2
C X en Y zijn onafhankelijk.
D Geen van de bovenstaande uitspraken is correct.
71
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
158 Mevrouw Harris Piltdown winkelt in N winkels, en koopt in winkel i (met i in
{1, . . . , N}) voor een bedrag Bi aan kleren. Je mag ervan uitgaan dat N en elke Bi
toevallige veranderlijken zijn. N neemt waarden aan in {1, . . . , 100} en elke Bi neemt
waarden aan in R≥0 . Ook mag je ervan uitgaan dat de Bi ’s identiek verdeeld zijn. We
noemen µ = E(Bi ) de verwachtingswaarde van elke Bi . Bovendien heeft Harris Piltdown zoveel geld dat haar gespendeerde bedrag Bi in winkel i onafhankelijk is van het
aantal winkels N dat ze bezoekt.
Noem S = B1 + B2 + . . . + BN het totale bedrag dat Harris Piltdown kwijt is na haar
dagje shoppen. Wat is E(S)?
Hint: Gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid voor verwachtingswaarden en
conditioneer op N.
A µ
B Nµ
C E(N − 1)µ
D geen van de bovenstaande
159 X en Y zijn twee onafhankelijke, geometrische verdeelde toevallige veranderlijken met
parameter p = 1/5. De waarschijnlijkheid dat X = Y bedraagt dan:
A 1/9
B 1/6
C 1/3
D
16/225
160 Beschouw een toevallige steekproef X1 , X2 , . . . , Xn uit een Poisson-verdeling met
parameter λ > 0. Wat is de momentenfunctie M(t) van het steekproefgemiddelde X n
voor n → +∞?
A eλt voor alle reële t
B 1 voor alle reële t
C 0 voor reële t < 0
D geen van de bovenstaande
72
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
161 We beschouwen een Bernoulli-proces van zestig onafhankelijke herhalingen van een
experiment met mogelijke uitkomsten 0 en 1, waarbij de waarschijnlijkheid op de
waarde 1 telkens gelijk is aan 2/3. Het aantal keer dat we 1 krijgen, stellen we door X
voor. Geef de beste benadering voor P (X > 40, 12736).
A 0, 4318
B 0, 5545
C 0, 4861
D 0, 6079
162 Vier technici voeren reparaties uit wanneer er zich fouten voordoen aan een productielijn.
Jos verwerkt 20% van de fouten en 1 van de 20 reparaties die hij uitvoert zijn niet
afdoende. Tom doet 60% van de herstellingen en 1 van de 10 reparaties die hij uitvoert
zijn niet afdoende. Tania doet 15% van de herstellingen en 1 van de 10 herstellingen
zijn niet afdoende. Peter doet 5% van de herstellingen en 1 van de 20 herstellingen zijn
niet afdoende. Er doet zich nu een fout voor aan de productielijn die een gevolg blijkt
te zijn van een slechte reparatie. Wat is de waarschijnlijkheid dat deze reparatie werd
uitgevoerd door Jos?
A 1/100
B 4/35
C 1/20
D 1/50
163 Beschouw de discrete toevallige veranderlijke X die waarden aanneemt in {1, 2, 3}, met
distributiefunctie FX , en de continue toevallige veranderlijke Y die waarden aanneemt in
[1, 3], met distributiefunctie FY , en definieer de gebeurtenis A := [3/2, 5/2]. Er is geweten
dat X en Y onafhankelijk zijn, dat P(X ∈ A) = P(X ∈ Ac ), dat P(Y ∈ A) = P(Y ∈ Ac ),
en dat FX (3/2) = FY (3/2) = 1/3. Welke van de onderstaande uitspraken is vals?
A E(X) ≥ 2.
B P(Y ≥ X) = 65 − 12 FY (2).
C P(X ∈ {1, 3}) = P(Y ∈ Ac ).
D P(X +Y ∈ A) = 1/9.
E FX ( 52 ) = FY ( 25 ).
73
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
164 We kijken naar de maximale-likelihoodschatters B̂0,ML en B̂1,ML voor de coëfficiënten β0
en β1 van de best passende rechte voor datapunten (xk , yk ), k = 1, . . . , n, bij enkelvoudige
lineaire regressie overeenkomstig met de kleinstekwadratenmethode. Hierin is σ 2
de constante variantie van de onafhankelijke, normaal verdeelde, en nulvertekende
meetfouten. Je weet bovendien dat xn = 0 en x2 n > 0. Welke van de volgende uitspraken
is waar?
A B̂0,ML en B̂1,ML zijn onafhankelijk.
B B̂1,ML is niet onvertekend.
C B̂0,ML is niet onvertekend.
r
r
2
2
x2 n σ 2
D (β̂0,ML − z1−α/2 n s0 2 , β̂0,ML + z1−α/2 xnn sσ0 2 ) is voor kleine n geen
xn
xn
100(1 − α)% betrouwbaarheidsinterval voor β0 .
165 Er wordt een steekproef met grootte n = 10 genomen uit een standaardnormale verdeling.
Welke van de volgende beweringen is juist?
2 heeft een χ 2 -verdeling.
A 9S10
9
2 heeft een Nm(·|0, 10)-verdeling.
B 9S10
2 heeft een χ 2 -verdeling.
C 9S10
10
2 heeft een Ga(·|5, 2)-verdeling.
D 9S10
166 We hebben een muntstuk met waarschijnlijkheid p op munt. Om een schatting voor p
te vinden, doen we de volgende steekproef, die bestaat uit n = 40 keer onafhankelijk
herhalen van het volgende experiment: in experiment k is xk het aantal keer dat we
moeten tossen vóór een eerste keer munt wordt gegooid. Dit geeft aanleiding tot een
steekproefgemiddelde x40 = 0, 943. Geef een tweezijdig 95%-betrouwbaarheidsinterval
voor p.
A ≈ (0, 5094; 0, 5120)
B ≈ (0, 4211; 0, 6082)
C ≈ (0, 4036; 0, 6258)
D ≈ (0, 5084; 0, 5210)
74
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
167 Er is geweten dat 4/5 van de studenten waarschijnlijkheidsrekening en statistiek (WenS)
grondig studeert voor dit vak. Bovendien is van de studenten die grondig studeren 3/4
geslaagd voor het examen. Benjamin heeft dit jaar WenS gevolgd en stelt tot zijn teleurstelling op zijn puntenbriefje vast dat hij niet geslaagd is. Welke van de onderstaande
uitspraken is niet waar?
Hint: maak gebruik van de onderstaande figuur en laat p variëren tussen 0 en 1.
(G=grondig gestudeerd, NG=niet grondig gestudeerd, V=geslaagd, X=niet geslaagd)
G
3/4
V
X
4/5
0
NG
p
V
X
A De waarschijnlijkheid dat een willekeurige student niet geslaagd is, is ten minste
1/5.
B De waarschijnlijkheid dat Benjamin grondig gestudeerd heeft, is ten minste zo
groot als de waarschijnlijkheid dat hij niet grondig gestudeerd heeft.
C De waarschijnlijkheid dat Benjamin grondig gestudeerd heeft, is zeker strikt
kleiner dan 1/2.
D Er zijn voldoende gegevens beschikbaar om deze vraag te beantwoorden.
168 Wat zijn voldoende voorwaarden opdat Z = ∑nk=1 Xk2 chi-kwadraat verdeeld zou zijn
met 3 vrijheidsgraden als X1 , X2 , . . . , Xn gezamenlijk normaal verdeelde toevallige
veranderlijken zijn.
A n = 4 en de Xk zijn onafhankelijk.
B n = 3 en elke Xk is standaardnormaal verdeeld.
C n = 4, de Xk zijn onafhankelijk en elk is standaardnormaal verdeeld.
D n = 3, de Xk zijn onafhankelijk en elk is standaardnormaal verdeeld.
75
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
169 De toevallige veranderlijke X heeft een gamma-verdeling met parameters α ∈ N en
β = 1 (0 wordt niet als een natuurlijk getal beschouwd). Wat is de waarschijnlijkheid
P(X = 1) dat X de waarde 1 aanneemt?
A 0
B
1
−1
(α−1)! e
C
1 −1
α! e
D geen van de bovenstaande
170 Gegeven zijn de toevallige veranderlijken X, Y en Z. Er geldt voor alle reële a, b, c en d
dat
var(aX + bY + cZ + d) = a2 σX2 + b2 σY2 + c2 σZ2 .
Hieruit kun je besluiten dat:
A X, Y en Z onafhankelijk zijn.
B X, Y en Z paarsgewijs onafhankelijk zijn.
C X, Y en Z (paarsgewijs) ongecorreleerd zijn.
D Geen van de bovenstaande uitspraken noodzakelijkerwijs correct is.
171 Beschouw een steekproef X1 , X2 , . . . , X2n van grootte 2n uit een standaardnormale
verdeling, met n > 1 een natuurlijk getal. Beschouw het steekproefgemiddelde X 2n en
2 van de volledige steekproef, en het steekproefgemiddelde X
de steekproefvariantie S2n
n
en de steekproefvariantie Sn2 van de eerste n toevallige veranderlijken X1 , X2 , . . . , Xn .
Welke van de onderstaande uitspraken is vals?
2 X ) > 0.
A E(S2n
2n
B X n en 2X 2n − X n zijn onafhankelijke toevallige veranderlijken.
√
C n X n is standaardnormaal verdeeld.
D E(Sn2 + X n ) = 1.
E X 2n + 2n heeft een normale verdeling met parameters µ = 2n en σ 2 =
76
1
2n .
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
172 Waaraan is P(X ∈ [2, 3]) gelijk als de distributiefunctie van de veranderlijke X is zoals
in de figuur?
FX (z)
1
7/8
1
2
1/4
1/8
0
1
2
3
4
z
A 2/8
B 3/8
C 5/8
D 6/8
173 Een spel verloopt in opeenvolgende rondes. De speler begint met score nul. In elke
ronde wordt een muntstuk gegooid met waarschijnlijkheid p voor munt en q = 1 − p
voor kruis. Bij munt verhoogt de score met 1, bij kruis verlaagt ze met 1. Het spel stopt
zodra de score ofwel 2 ofwel −2 bereikt. Wat is het verwachte aantal rondes?
Hint: kijk naar de onderstaande figuur en gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid
voor verwachtingswaarden.
p
1
2 :STOP
q
p
0
0
q
p
−1
0
q
−2 :STOP
2
2
p +q
A 2 1−2pq
B
2
1−2pq
C
2pq
1−2pq
D geen van de bovenstaande
77
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
174 Radioactieve kernen vervallen volgens een Poisson-proces, met een vervaltempo λ
(uitgedrukt in vervallen kernen per uur). We willen een idee krijgen van het vervaltempo
van een bepaald type kernen, en daartoe meten we in een experiment k hoeveel kernen
Xk in de tijdspanne van een uur vervallen. We herhalen dit experiment 40 keer, wat leidt
tot een steekproefgemiddelde xn = 20, 3. Welk van de volgende is dan een (benaderd en
tweezijdig) betrouwbaarheidsinterval met betrouwbaarheidsdrempel 5%?
A ≈ (11, 47; 29, 13)
B ≈ (19, 13; 21, 47)
C ≈ (18, 90; 21, 70)
D ≈ (19, 30; 21, 29)
175 Op de onderstaande figuur is (een deel van) de distributiefunctie van een reële toevallige
veranderlijke X getekend. Welke van de onderstaande uitspraken is correct?
FX (z)
1
3/4
1/2
1/4
0
1
2
3
A P(X = 2) = 1/2.
B P(X ≥ 4) = 0.
C q1/2 = 5/2.
D Geen van de bovenstaande uitspraken is correct.
78
4
z
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
176 We beschouwen een Bernoulli-proces van zestig onafhankelijke herhalingen van een
experiment met mogelijke uitkomsten 0 en 1, waarbij de waarschijnlijkheid op de
waarde 1 telkens gelijk is aan 2/3. Het aantal keer dat we 1 krijgen, stellen we door X
voor. Geef de beste benadering voor P (X < 40, 9989).
A 0, 6593
B 0, 5544
C 0, 1593
D 0, 0544
177 Joris vraagt aan enkelen van zijn medestudenten om hun humeur tijdens de examens te
beoordelen met een heeltallige score van nul tot tien. Met deze kleine enquête stelt hij
het onderstaande kader-met-staafdiagram op.
0
2
3
8
10
4, 6
Enkele weken later is Joris vergeten aan hoeveel medestudenten hij zijn vraag heeft
gesteld, maar hij weet wel nog dat het er zeker niet meer dan zes waren. Welke van de
onderstaande uitspraken over de grootte n van de steekproef van Joris is dan correct?
A n = 3.
B n = 4.
C n = 5.
D n = 6.
E Er zijn onvoldoende gegevens beschikbaar om n te bepalen.
178 De toevallige veranderlijke die we willen bestuderen, is de tijd (uitgedrukt in maanden)
tussen twee opeenvolgende zwangerschappen van een Vlaamse vrouw. Welke van de
onderstaande verdelingen kan je niet uitsluiten als model voor deze veranderlijke?
A de χ 2 -verdeling
B de Poisson-verdeling
C de normale verdeling
D de binomiale verdeling
79
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
179 De toevallige veranderlijke X is binomiaal verdeeld met parameters m > 1 (aantal Bernoulli-experimenten) en p (waarschijnlijkheid op succes bij elk Bernoulliexperiment). We nemen een steekproef (x1 , . . . , xn ) van grootte n uit die binomiale
verdeling. Welke van de volgende uitspraken is dan waar?
q
q
xn xn
xn
1 xn
1 xn
A Het interval xmn − z1−α/2 nm
(1
−
),
+
z
(1
−
)
is een benaα
1− /2
m
m
m
nm m
m
derend 100(1 − α)%-betrouwbaarheidsinterval voor de parameter p.
q
q
xn
xn xn
1 xn
B Het interval m − z1−α/2 n m (1 − m ), m + z1−α/2 1n xmn (1 − xmn ) is een benaderend 100(1 − α)%-betrouwbaarheidsinterval voor de parameter p.
q
q
C Het interval xn − z1−α/2 1n xn (1 − xn ), xn + z1−α/2 1n xn (1 − xn ) is een benaderend 100(1 − α)%-betrouwbaarheidsinterval voor de parameter p.
D Het interval xmn − z1−α/2 √1nm xmn (1 − xmn ), xmn + z1−α/2 √1nm xmn (1 − xmn ) is een benaderend 100(1 − α)%-betrouwbaarheidsinterval voor de parameter p.
E De parameter
p behoort met een waarschijnlijkheid van ongeveer
1 − α tot het
1
1
interval xn − z1−α/2 √n xn (1 − xn ), xn + z1−α/2 √n xn (1 − xn ) , en die benadering
wordt steeds beter voor grotere n.
180 We beschouwen een experiment met steekproefruimte R2 , en drie gebeurtenissen
A = {(x, x) : x ∈ R}, B = {(x, 2) : x ∈ Q} en C = {(x, π) : x ∈ Q}. Wat kan je zeggen
over de logische onafhankelijkheid van deze gebeurtenissen?
A A en B zijn logisch onafhankelijk.
B A en C zijn logisch onafhankelijk.
C B en C zijn logisch onafhankelijk.
D A, B en C zijn logisch onafhankelijk.
181 X1 , X2 , . . . , Xn zijn n onafhankelijke Bernoulli-verdeelde toevallige veranderlijken met
parameter p. Definieer de toevallige veranderlijke Y als hun product Y := ∏ni=1 Xi .
Waaraan is var(Y ) gelijk?
A pn (1 − pn )
B pn (1 − p)n
C p(1 − p)
D enp(1−p)
80
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
182 In een urne liggen twee rode en twee witte ballen. Men haalt er op lukrake wijze twee
ballen uit zonder ze terug te leggen, zodat er nog twee ballen in de urne blijven.
Maar we weten niet welke ballen eruit zijn gehaald. Om het jullie makkelijk te maken:
de waarschijnlijkheid dat er nog twee witte ballen in de urne zitten is 1/6, voor twee
rode ballen is ze 1/6, en voor een witte en een rode bal 2/3.
We gaan nu n keer na elkaar lukraak een van de overblijvende ballen uit de urne halen
en weer terugplaatsten. Het (toevallige) aantal keren van die n dat daarbij een witte
bal getrokken wordt, is X = ∑nk=1 Xk , met Xk = 1 wanneer de k-de bal wit is, en Xk = 0
anders.
Welke van de volgende uitspraken is waar?
A E(X) = n3 .
B De uitkomsten Xk en X` van twee verschillende trekkingen zijn ongecorreleerd.
2
C E(X 2 ) = n6 + n3 .
D var(X) = n6 .
183 De gepensioneerde wiskundige Fred B. wil een tas soep opwarmen voor zijn vrouw.
Hij weet dat zij de soep ideaal vindt als ze één minuut op het hoogste vermogen
in de microgolf heeft gestaan. De klok van de microgolfoven is echter kapot en hij
probeert daarom 60 seconden af te tellen in zijn hoofd. De duur Ti van de afzonderlijke
benaderend afgetelde seconden is onafhankelijk, met E(Ti ) = 1 en var(Ti ) = 1/12. Wat
is de (eventueel benaderde) waarschijnlijkheid dat de in zijn hoofd geschatte tijdsduur
minder dan 10 seconden verschilt van de gewenste minuut?
A 1 − 5/12
B Φ(2) − Φ(−2)
√
C 2Φ(2 5) − 1
√
D 2Φ(20 3) − 1
184 Zij X een niet-positieve toevallige veranderlijke (X ≤ 0) waarvoor de verwachtingswaarde E(X) bestaat. Welke van de volgende uitspraken geldt dan altijd, voor elke reële
a < 0?
A FX (a) ≤
E(X)
a
+ P(X = a).
B FX (a) ≥ 1 + P(X = a) − E(X)
a .
C FX (a) ≥ 1 − E(X)
a .
D FX (a) ≥
E(X)
a .
81
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
185 Beschouw een toevallige steekproef X1 , X2 , . . . , Xn van grootte n uit een verdeling
f (·|θ ) met parameter θ . We kijken ook naar de parameter λ := θ 2 .
Welke van de volgende uitspraken over de maximale-likelihoodschatters Θ̂ML voor θ en
Λ̂ML voor λ is niet noodzakelijk waar?
A Als E(Θ̂ML (X1 )) = θ , dan is E(Θ̂ML (X1 )Θ̂ML (X2 )) = θ 2 .
B E(Θ̂ML (X1 , X2 , . . . , Xn )) = θ .
C Θ̂ML is consistent.
D Λ̂ML = (Θ̂ML )2 .
186 Beschouw het volgende stukje MATLAB code.
lengte = 30;
X = rand ( lengte ,1);
beta0 = 1
beta1 = 1/2;
fout = randn ( lengte ,1)/10; % randn doet hetzelfde als rand ,
% maar met een standaardnormale
% i . p . v . uniforme verdeling
fout = [ fout (1: end -1)+ fout (2: end ); fout ( end )+ fout (1)];
% [ fout (1)+ fout (2); fout (2)+ fout (3); ... ; fout (30)+ fout (1)]
Y = beta0 + beta1 * X
+ fout ;
Via een lineaire regressie wil men het verband Y = β0 + β1 X te weten komen. Aan
welke van de basisveronderstellingen voor het onderliggende waarschijnlijkheidsmodel
bij een enkelvoudige lineaire regressie is in dit voorbeeld niet voldaan?
A normaliteit
B homoscedasticiteit
C onafhankelijkheid
D nulvertekening
82
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
187 De gebeurtenissen A, B en C zijn paarsgewijs—twee aan twee—onafhankelijk en
hebben dezelfde waarschijnlijkheid. Verder is gegeven dat P(A ∪ B ∪ C) = 23 en dat
A ∩ B ∩C = 0.
/
Wat is de waarschijnlijkheid van A ∩ B?
A
2
9
B
4
9
C
1
18
D
2
27
E geen van de bovenstaande
83
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
188 Beschouw een reële toevallige veranderlijke met een densiteit fX waarvoor fX (z) =
fX (−z), z ∈ R. Welke van de volgende functies zou een geldige momentenfunctie MX (t)
van X kunnen zijn?
A
MX (t)
1
0
t
0
t
0
t
0
t
B
MX (t)
1
C
MX (t)
1
D
MX (t)
1
189 Een faire dobbelsteen wordt 10-maal geworpen. De toevallige veranderlijke Y is het
aantal keer dat een veelvoud van drie geworpen wordt. Waaraan is var(Y ) dan gelijk?
A 5/2
B 1/4
C 2/9
D
20/9
84
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
190 Beschouw een reële toevallige veranderlijke X waarvan geweten is dat E(X) = 1/2,
E(X 2 ) = 1/2, var(X + X 2 ) = 1 en cov(X, X 3 ) = 1/4.
Waaraan is ρ(X, X 2 ) dan gelijk?
A 1
B 4
C
D
√5
3
√
3
5
E geen van de bovenstaande
191 We wensen voor een groep studenten een oefening op enkelvoudige lineaire regressie in
MATLAB te maken. Het lineaire verband dat we voor ogen houden is y = −4 + 2x en de
datavector voor de predictor X = [0:9] hebben we al gedefinieerd in MATLAB. Welke
van onderstaande mogelijkheden genereert in MATLAB een gewenste respons Y die
voldoet aan de basisveronderstellingen voor enkelvoudige lineaire regressie-analyse?
A Y = -4+2*X+rand(1);
B Y = -4+2*X+0.3*rand(1,10);
C Y = -4+2*X+X.*randn(1,10);
D Y = -4+2*X+0.6*randn(1,length(X));
192 In een notoire passage in een van zijn werken berekent Laplace in 1814 de waarschijnlijkheid p dat de zon de dag erop niet zal opgaan. Zich baserend op een berekening
van bischop Berkeley over het moment van onstaan van de wereld op basis van bijbelonderzoek, stelt hij dat sinds de schepping, de zon al n = 1826213 keer is opgegaan.
Met een formule die hij zelf heeft opgesteld, de zogenaamde voortzettingswet van
Laplace, berekent hij dan dat p = 1/n+2 = 1/1826215. Welke interpretatie heeft deze
waarschijnlijkheid?
A Frequentistisch
B Subjectief
C Klassiek
D Geen van de bovenstaande
85
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
193 De gemeenschappelijke densiteit fX,Y van de toevallige veranderlijken X en Y wordt
gegeven door:
(
ey als x ∈ [0, 1] en y ∈ [0, ln(2)],
fX,Y (x, y) =
0 elders.
De toevallige veranderlijken U en V worden gedefinieerd als:
(
U := XY,
V := 2X .
Wat is de gemeenschappelijke densiteit fU,V van U en V ?
A
B
C
D
E

u/ln(v)

2
fU,V (u, v) = v ln(v)

0
(
2u/v
fU,V (u, v) =
0
 u/v
2
fU,V (u, v) =
v

0
als u ∈ [0, ln(2)] en v ∈ [eu , 2],
elders.
als u ∈ [0, ln(2)] en v ∈ [2u , 2ln(2) ],
elders.
als u ∈ [0, ln(2)] en v ∈ [2u , 2ln(2) ],
elders.
(
2u/ln(v)
fU,V (u, v) =
0
als u ∈ [0, ln(2)] en v ∈ [eu , 2],
elders.
(
2u/ln(v)
fU,V (u, v) =
0
als u ∈ [0, ln(2)] en v ∈ [0, 1],
elders.
86
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
194 X, Y , U en V zijn vier (strikt) positieve toevallige veranderlijken waarvoor geldt dat
U = X/Y en V = X +Y . Als je weet dat U en V ongecorreleerd zijn, dat E(U) = 1 en
dat E(X) 6= E(Y ), waaraan is E(UX) dan gelijk?
A E(X)
B E(Y )
C
1
2 E(V )
D geen van de bovenstaande
195 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y is gegeven
door
(
2|uv| als u2 + v2 ≤ 1
f(X,Y ) (u, v) =
0
elders.
Welke van de volgende uitspraken is dan niet correct?
A X en Y zijn onafhankelijk.
B X en Y zijn ongecorreleerd.
C E(X) = E(Y ) = 0.
D var(X) = var(Y ) = 1/3.
196 Gegeven een reële toevallige veranderlijke X met densiteit
(
c
als z ≥ 0
ν+1
fX (z) = (1+z)
0
elders,
en waarbij ν > 0 en c een constante is. Waaraan is P(−1/2 < X < 1) dan gelijk?
A 1 − 21ν
1
B c( 2ν+1
− 1)
1
C 1 − 2ν+2
D 2ν − 21ν
87
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
197 Beschouw een urne met 3 rode en 2 blauwe ballen, waaruit we op een lukrake manier
ballen trekken, zonder ze terug te plaatsen. Noem de toevallige veranderlijke X het
aantal ballen dat we moeten trekken tot we een rode bal hebben—de getrokken rode bal
inbegrepen. Wat is dan E(X), het verwachte aantal ballen dat we moeten trekken om
minstens 1 rode bal te hebben?
A
3
2
B
5
3
C
2
3
D
3
5
E geen van de bovenstaande
198 De veranderlijke X is uniform verdeeld over het interval (0, a], met a > 0. De veranderlijke Y is uniform verdeeld over het interval (0, X]. Wat is de densiteit fY (y) van
Y?
A
1
a
ln ay voor 0 < y ≤ a
B 1 + a1 ln ay voor 0 < y ≤ a
C
1
a
voor 0 < y ≤ a
D geen van de bovenstaande
199 De zogenaamde Erlang-verdeling heeft twee parameters k ∈ N en λ ∈ R>0 . Een (positieve) toevallige veranderlijke X die Erlang-verdeeld is, heeft dan de volgende momentenfunctie:
t −k
voor t < λ .
MX (t) = 1 −
λ
Wat is Mln(X− k ) (2)?
λ
A
k
λ2
B
k(k+1−λ )
λ
C
2k2 +k
λ2
D
k(k+1)
λ2
88
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
200 We willen bestuderen hoe lang het duurt om een stukje code uit te voeren. Het programma voert eerst een taak uit die een tijd T1 in beslag neemt. Daarna wordt een test
uitgevoerd, die bij positief resultaat—met waarschijnlijkheid p1 —het programma stopt.
Bij negatief resultaat voert het programma een tweede taak uit, die een tijd T2 in beslag
neemt. Opnieuw wordt een test uitgevoerd, die bij positief resultaat—met waarschijnlijkheid p2 —het programma stopt. Bij negatief resultaat herbegint het programma van
voor af aan. Je mag de duur van de testen verwaarlozen, en aannemen dat 0 < p1 < 1
en 0 < p2 < 1. Zie de onderstaande figuur voor een flowchart.
Wat is de verwachte loopduur E(T ) van het programma?
START
TAAK 1
STOP
JA
TEST 1
TAAK 2
STOP
A
T1 +(1−p1 )T2
p1 +p2 −p1 p2
B
T1 +(1−p2 )T2
p1 +p2 −p1 p2
C
p1 T1 +(1−p1 )p2 T2
p1 +p2 −p1 p2
D
p1 T1 +p2 (T1 +T2 )
p1 +p2
JA
TEST 2
E +∞
89
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
201 Welke eigenschap heeft de maximale-likelihoodschatter niet noodzakelijk?
A consistentie
B equivariantie
C onvertekendheid
D hij is asymptotisch meest efficiënt
202 We herhalen een Bernoulli-experiment met waarschijnlijkheid p = 12 op succes op onafhankelijke wijze tot een eerste succes optreedt. De geometrisch verdeelde veranderlijke
N is het aantal falingen voor een eerste succes. Ik krijg na afloop van het experiment
( 12 )N euro. Wat is het verwachte aantal euro’s dat ik zal krijgen?
Hint: kijk naar de onderstaande waarschijnlijkheidsboom.
1
p
p
1
2
p
1
4
p
1
8
···
A 2
B 1
C
2
3
D
1
2
90
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
203 Onderzoekers aan het MIT bestudeerden de spectroscopische eigenschappen van een
bepaald type planetoïden. Het aantal spectrale beelden per geobserveerde planetoïde
werd genoteerd. De gegevens voor 40 planetoïden staan in onderstaande tabel:
3
1
3
6
4
1
3
1
3
4
2
3
3
2
2
2
1
3
2
2
4
3
2
1
1
2
1
2
3
6
3
2
2
1
2
4
3
1
1
2
3
11
4
4
De hieruit afgeleide absolute-frequentietabel is dan:
Aantal spectrale beelden
Aantal planetoïden
1
10
2
13
5
0
6
2
Welke van de volgende figuren vat de data correct samen in een kader-met-staafdiagram?
1
2
3
6
1
2
3
6
A
2.425
B
1
2
3
4
6
3
4
6
2.425
C
1
2
D
91
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
204 Als X1 , X2 , . . . , X100 standaardnormaal verdeelde onafhankelijke toevallige veranderlij2
ken zijn, dan is Z = ∑100
k=1 Xk :
A χ 2 -verdeeld met 99 vrijheidsgraden
B gamma-verdeeld met parameters α = 50 en β = 2
C gamma-verdeeld met parameters α = 100 en β = 2
D χ 2 -verdeeld met 101 vrijheidsgraden
205 Beschouw de volgende Matlab-functie:
function E = doeIets (n ,p , f )
% deze functie doet iets
% invoer :
% n is een natuurlijk getal
% p is een reeel getal tussen 0 en 1
% f is een 2 bij 1 reele vector
s = sum ( rand (n ,1) > p )/ n ;
E = [1 -s , s ]* f ;
end
We voeren het volgende stukje code uit
n = 500;
f = [6; -1];
E = doeIets (n ,0.6 , f )
Op deze manier is E een functie van n. Als we n groter en groter maken (maar niet zo
groot dat er zich numerieke fouten voordoen) dan verwachten we dat de waarde voor E
dichter bij welke van de volgende getallen zal komen te liggen?
A E≈0
B E ≈ 1, 8
C E ≈ 3, 2
D E gaat naar +∞
92
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
206 De verdeling van het inkomen I van een groot aantal gezinnen kan benaderd worden
door een Pareto-verdeling, waarvan de densiteit gegeven wordt door:
 a
 ab
als i ≥ b,
fI (i) = ia+1
0
als i < b.
Hier stelt de gekende parameter b ∈ R>0 het kleinste inkomen voor, en de onbekende
parameter a ∈ R>0 is een bepaalde vormparameter. We nemen een toevallige steekproef
(i1 , i2 , . . . , in ) van de inkomens van n gezinnen. Wat is de maximale-likelihoodschatting
âML (i1 , i2 , . . . , in ) voor de vormparameter a?
A âML (i1 , i2 , . . . , in ) =
n
(∑nk=1 ln ik )−ln b
B âML (i1 , i2 , . . . , in ) =
n
∑nk=1 ln ik
−1
C âML (i1 , i2 , . . . , in ) = ∑nk=1 ln ibk
−1
D âML (i1 , i2 , . . . , in ) = n ∑nk=1 ln ibk
207 Een van de steeds wederkerende discussiepunten tijdens zomerbarbecues is of tomaten
nu fruit of groenten zijn. Een informele schatting gaf een waarschijnlijkheid van 85%
dat een willekeurige barbecueganger duidelijk voor een van beide mogelijkheden kiest.
Welke van de volgende uitspraken is zeker juist?
A P(kiest voor fruit) = 85%
B P(heeft geen duidelijke mening) < 15%
C P(kiest niet voor groenten) ≥ 15%
D P(heeft een duidelijke mening en kiest voor groenten) ≥ 85%
208 Herman Erikson werkt in een call-center en verwerkt elke dag 50 telefoonoproepen. De
duurtijden Di van de afzonderlijke oproepen i zijn onafhankelijk, met µDi = 5 (minuten)
en σDi = 5 (minuten). Wat is de (eventueel benaderde) waarschijnlijkheid dat de totale
duurtijd van de 50 telefoonoproepen meer dan 5 uur bedraagt?
A Φ(−10)
√
B Φ(− 10)
√
C Φ(− 2)
D Φ(−1/5)
93
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
209 We nemen een steekproef van grootte n van een toevallige veranderlijke met drie
mogelijke uitkomsten. De waarschijnlijkheid van de eerste uitkomst is p, en die van
de tweede uitkomst is gelijk aan 2p. Na uitvoering van de steekproef blijkt dat de
eerste uitkomst z1 keer, de tweede z2 keer, en de derde z3 keer is opgetreden. Wat is de
corresponderende maximale-likelihoodschatting voor p?
A p̂ML = (z1 +2z2 )/3n
B p̂ML = (z1 +z2 )/3n
C p̂ML = (z1 +z2 )/n
D p̂ML = (z1 !(2z2 )!)/(3n)!
94
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
210 Beschouw een reële toevallige veranderlijke X met een densiteit fX waarvoor voor
alle x ∈ R geldt dat fX (x) = fX (−x). Welke van de volgende functies zou een geldige
momentenfunctie MX (t) van X kunnen zijn?
A
MX (t)
1
0
t
0
t
0
t
0
t
B
MX (t)
1
C
MX (t)
1
D
MX (t)
1
95
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
211 De toevallige veranderlijke X is uniform verdeeld over {1, 2, 3} en de toevallige veranderlijke Y is uniform verdeeld over [1, 3]. Welke van de onderstaande uitspraken is
correct?
A P(X > 2) = P(X ≥ 2).
B var(X) = 2 var(Y ).
C P(X = 1) = P(Y = 1).
D P(X ≥ 2) = P(Y ≥ 2).
212 Twee reële continue toevallige veranderlijken X en Y hebben een gemeenschappelijke densiteit fX,Y (x, y) die alleen van 0 verschilt voor 0 < x2 + y2 < 1 en 0 < x < 1.
Conditioneel
interval
√
√ op X = x met 0 < x < 1, is Y uniform verdeeld over het4 √
2
2
(− 1 − x , 1 − x ). De marginale densiteit van X voldoet aan fX (x) = π 1 − x2
voor 0 < x < 1.
Welke van de volgende uitspraken is dan waar?
A X en Y zijn gecorreleerd.
B Conditioneel
op Y = y met −1 < y < 1, is X uniform verdeeld over het interval
p
(0, 1 − y2 ).
p
C De marginale densiteit van Y voldoet aan fY (y) = π4 1 − y2 voor −1 < y < 1.
D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar.
213 We nemen een toevallige steekproef X1 , . . . , Xn van grootte n uit een normale verdeling
met parameters µ = 0 en σ 2 > 0. Wat is de met deze steekproef corresponderende
Fisher-informatie voor de standaardafwijking σ ?
A
2
σ2
B
1
σ2
C
2n
σ2
D
n
σ2
96
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
214 De continue toevallige veranderlijke Y is uniform verdeeld over (0, 1). Conditioneel op
de waarde y van Y is de discrete toevallige veranderlijke X geometrisch verdeeld met
parameter y.
Vind de marginale massafunctie fX van X en de conditionele densiteit fY |X om na te
gaan welke van de volgende uitspraken waar is.
Hint: Herinner je dat a(1 − a)n = (1 − a)n − (1 − a)n+1 voor a ∈ [0, 1] en gehele n ≥ 0.
1
A ∑∞
k=0 (k+1)(k+2) = 1.
B Na observatie van X = n is Y uniform verdeeld.
C De waarschijnlijkheid dat X = 2 en Y =
1
2
is gelijk aan 81 .
D De verwachtingswaarde E(Y |n) van Y na waarnemen van X = n is
3
n+4 .
E Geen enkele van de bovenstaande uitspraken is waar.
215 Voor welke van de onderstaande veranderlijken Z convergeert de verdeling niet naar de
standaardnormale verdeling voor natuurlijke n → ∞?
A Z=
X−nβ
√
,
nβ
als X een gamma-verdeling heeft met parameters α = n en β > 0
B Z = √X−np , als X een binomiale verdeling heeft met parameters n en p ∈ (0, 1)
np(1−p)
C Z=
X−µ
√ ,
n
als X een normale verdeling heeft met parameters µ en σ 2 = n
D Z=
X−n
√ ,
n
als X een χ 2 -verdeling heeft met parameter ν = n
E Z=
X−n
√ ,
n
als X een Poisson-verdeling heeft met parameter λ = n
216 We nemen een steekproef van grootte 2 en berekenen het steekproefgemiddelde x2 = 4
en s22 = 32. Wat is x(2) − x(1) ?
A 8
B −8
√
C 8 2
D Er zijn onvoldoende gegevens om deze vraag te beantwoorden.
97
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
217 Beschouw twee gemeenschappelijk normaal verdeelde reële toevallige veranderlijken
X en Y , waarvoor gegeven is dat cov(X,Y ) = 0. Wat is dan de sterkste ware uitspraak?
A X en Y zijn onafhankelijk en gecorreleerd.
B X en Y zijn onafhankelijk.
C X en Y zijn ongecorreleerd.
D X en Y zijn noch onafhankelijk, noch ongecorreleerd.
t
218 Een toevallige veranderlijke X heeft momentenfunctie MX (t) = ek(e −1) , waarin k > 0
een positieve reële parameter is.
Waaraan is cov(2X , 3X ) gelijk?
A e4k − e3k
B e5k − e3k
C 2k
D e2k
219 De toevallige veranderlijke Y heeft als massafunctie fY (v) = αe−v , v ∈ {0, 1, . . .}, de
toevallige veranderlijke Z heeft als massafunctie fZ (w) = β e−w , w ∈ {1, 2, . . .}; α en β
zijn normeringsconstanten. Welke van de volgende uitspraken is correct?
A fY (k) > fZ (k) voor alle k ∈ {1, 2, . . .}.
B fY (k) = fZ (k) voor alle k ∈ {1, 2, . . .}.
C fY (k) < fZ (k) voor alle k ∈ {1, 2, . . .}.
D de relatieve grootte van fY (k) en fZ (k) hangt af van de waarde van k ∈ {1, 2, . . .}.
220 Een urne bevat rode, groene en blauwe ballen: in totaal 8, waarvan 3 rode en 2 blauwe.
Hieruit worden ballen getrokken zonder terugplaatsing. Laat Xi met i ∈ {1, 2, . . . , 8}
gelijk zijn aan 1 wanneer in de i-de trekking een groene bal wordt getrokken, 0 anders.
Wat is de verwachtingswaarde van het product X1 (1 − X3 )(1 − X5 )?
A 5/28
B 1/56
C
75/512
D geen van de bovenstaande
98
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
221 De reële toevallige veranderlijke X heeft een continue distributiefunctie FX op R; haar
densiteit noemen we fX . Welke uitspraak is zeker onwaar:
A P(X ∈ N) = 0.
B fX is afleidbaar.
C P(X < 1) = 1.
D limx→+∞ fX (x) > 0.
222 We halen op lukrake manier zeven ballen uit een urne met zeven rode en drie blauwe
ballen, zonder terugplaatsing. Wat is de conditionele waarschijnlijkheid dat de derde
getrokken bal blauw is, als je weet dat drie van de zeven getrokken ballen blauw zijn?
A
3
10
B
3
7
C 1
D
1
8
223 We beschouwen een urne met twee rode en twee witte ballen, en we halen op toevallige
wijze drie ballen uit de urne, zonder terugplaatsing. Noem Rk de gebeurtenis dat de
k-de bal rood is, voor k = 1, 2, 3. Wat kan je zeggen over de waarschijnlijkheden P(R1 ),
P(R1 |R2 ) en P(R1 |R2 ∪ R3 )?
Om het je wat makkelijker te maken: Je mag ervan uitgaan dat P(Rk ) = 1/2 en dat
P(Rk ∩ R` ) = 1/6 voor k 6= ` ∈ {1, 2, 3}. P(R1 |R2 ∪ R3 ) is de waarschijnlijkheid dat de
eerste bal rood is als je weet dat bij de tweede en derde trekkingen tenminste één rode
bal verschijnt.
A P(R1 ) > P(R1 |R2 ) > P(R1 |R2 ∪ R3 ).
B P(R1 |R2 ) = P(R1 |R2 ∪ R3 ).
C P(R1 ) > P(R1 |R2 ∪ R3 ) > P(R1 |R2 ).
D geen van de bovenstaande.
99
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
224 Een toevallige veranderlijke X heeft een positieve verwachtingswaarde E(X) > 0. Welke
grens op de waarschijnlijkheid dat X tussen 0 en 2E(X) ligt, volgt uit de Chebyshevongelijkheid?
2
)
A P(0 < X < 2E(X)) ≥ 2 − E(X
E(X)2
2
E(X )
B P(0 < X < 2E(X)) ≤ 2 − E(X)
2
C P(0 < X < 2E(X)) ≤
var(X)
E(X)2
D P(0 < X < 2E(X)) ≥
var(X)
E(X)2
225 In een enkelvoudige lineaire regressie komt met elke predictor xk een toevallige respons
Yk overeen (k = 1, . . . , n). We nemen aan dat voldaan is aan de basisveronderstellingen
van normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit. De maximalelikelihoodmethode geeft dan een schatting B̂1,ML voor de helling β1 in de formule
Y = β0 + β1 X + ε. Wat is de ware uitspraak die we kunnen maken over Y n en B̂1,ML en
die bovendien in het algemeen het sterkst is?
A Y n en B̂1,ML zijn gecorreleerd.
B Y n en B̂1,ML zijn ongecorreleerd.
C Y n en B̂1,ML zijn afhankelijk.
D Y n en B̂1,ML zijn onafhankelijk.
226 Beschouw twee natuurlijke getallen k en `, en de corresponderende deelverzamelingen
Nk en N` van N die bestaan uit de veelvouden van k, respectievelijk `. We beschouwen
0 niet als een natuurlijk getal, dus 0 ∈
/ N. Als je weet dat Nk en N` logisch onafhankelijk
zijn, dan is welke van de volgende uitspraken zeker waar?
A k is een veelvoud van ` of ` is een veelvoud van k.
B k en ` hebben geen gemene delers, behalve 1.
C k is geen veelvoud van ` noch is ` een veelvoud van k.
D geen van de bovenstaande.
100
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
227 We nemen een toevallige steekproef X1 , X2 , . . . , Xn uit een normale verdeling. Welk van
de onderstaande intervallen is geen 100(1 − α)%-betrouwbaarheidsinterval voor de
variantie σ 2 van de verdeling?
h
2
n
A 0, (n−1)s
χ2
n−1,α
B
(n−1)s2n (n−1)s2n
, χ2
2
χn−1,1−α/2
n−1,α/2
C
n (n−1)sn
− χ(n−1)s
, χ2
2
D
2
2
n−1,α/2
n−1,α/2
(n−1)s2n
, +∞
2
χn−1,1−α
228 Natasja gaat als lid van de lokale jeugdbeweging van huis tot huis in de wijk Zulzeke
om bakjes sinaasappelen te verkopen. De waarschijnlijkheid dat ze een bakje verkoopt
aan een willekeurige huisdeur is 1/10. Geen enkele familie koopt meer dan een bakje, en
je mag ervan uitgaan dat het koopgedrag van een familie niet door de andere families
wordt beïnvloed. Wat is het verwachte aantal huizen waaraan Natasja moet aanbellen
tot ze twee bakjes heeft verkocht? (De huizen waar ze inderdaad verkoopt, worden
meegeteld).
A Aangezien het over twee bakjes gaat, is er onvoldoende informatie in de vraagstelling aanwezig om het verwachte aantal huizen te kunnen berekenen.
B 100
C 18
D 20
101
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
229 Beschouw een reële toevallige veranderlijke X waarvan de distributiefunctie weergegeven is in de onderstaande figuur.
FX (z)
1
1
2
1/4
0
1
2
3
4
z
Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar?
A P(2 ≤ X ≤ 3) = 34 .
B P(X = 1) = 0.
C P(X = 2) = 41 .
D P(X = 3) = 12 .
E P(X < 3) = 21 .
230 Beschouw
de√reële positieve
veranderlijken
is dat
√
√toevallige √
√ X en Y waarvan geweten
√
E( X) = E( Y ) = 2, var( X) = var( Y ) = 1, E( XY ) = 11/3 en var( XY ) = 56/9.
Waaraan is cov(X,Y ) dan gelijk?
A − 16
3
B 0
C − 13
D − 23
9
E Er zijn onvoldoende gegevens beschikbaar om deze vraag te kunnen beantwoorden.
102
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
231 We nemen een steekproef X1 , . . . , Xn van grootte n uit een gamma-verdeling met parameters α = 4 en β > 0.
Wat is de met deze steekproef corresponderende Fisher-informatie voor β ?
A
4n
β2
B − β4n2
C
4
β2
D − β42
E geen van de bovenstaande
232 Het volgende stukje Matlab-code genereert een realisatie van een toevallige veranderlijke X.
X = gammaquantile ( rand (1) ,2 ,3)
Hierin geeft de functie gammaquantile(z,alpha,beta) het z-fractiel van de gammaverdeling met parameters α = alpha en β = beta.
Waaraan is de variantie var(X) van X gelijk?
A
1
12
B 6
C 12
D geen van de bovenstaande
233 We beschouwen een urne met twee rode en drie witte ballen, en we halen op toevallige
wijze vier ballen uit de urne, zonder terugplaatsing.
Als je weet dat de eerste en de tweede bal een verschillende kleur hebben, wat is dan de
waarschijnlijkheid dat de derde en de vierde bal ook een verschillende kleur hebben?
A
4
9
B
2
3
C
3
10
D geen van de bovenstaande
103
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
234 Een urne bevat 10 genummerde ballen: 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6. Er worden ballen uit
de urne getrokken (zonder ze terug te plaatsen) totdat de tweede bal gemarkeerd met 3
te voorschijn komt. De waarschijnlijkheid dat deze tweede drie bij de zesde trekking
verschijnt, is dan:
A 1/10
B 1/3
C 5/6
D 1/9
235 We nemen een toevallige steekproef X1 , . . . , Xn van grootte n uit een geometrische
verdeling met parameter 0 < p < 1. Wat is de met deze steekproef corresponderende
Fisher-informatie In (p) voor p?
A
n
p2 (1−p)
B
1
p2 (1−p)
C
1
p(1−p)2
D
n
p(1−p)2
E geen van de bovenstaande
236 Beschouw een toevallige steekproef X1 , . . . , X5 van grootte 5 uit een Bernoulli-verdeling
met parameter p = 1/2. Waaraan zijn de variantie var(X 5 ) van het steekproefgemiddelde
en de variantie var(S52 ) van de steekproefvariantie gelijk?
A var(X 5 ) =
1
20
B var(X 5 ) =
1
4
en var(S52 ) =
1
160
C var(X 5 ) =
1
4
en var(S52 ) =
3
32
D var(X 5 ) =
1
20
en var(S52 ) =
en var(S52 ) =
1
160
3
32
E geen van de bovenstaande
104
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
237 De toevallige veranderlijke X is Gamma-verdeeld met parameters α en β . We nemen
aan dat α gekend is, en we beschouwen de variantie var(B̂ML ) van de maximalelikelihoodschatter B̂ML van de parameter β in een toevallige steekproef met grootte n.
We nemen aan dat n groot genoeg is, zodat we deze variantie kunnen berekenen langs
de Fisher-informatie In (β ) om. Welke van de vier volgende uitspraken is dan correct?
√
A var(B̂ML ) is omgekeerd evenredig met n.
B var(B̂ML ) is evenredig met β 2 .
C var(B̂ML ) is evenredig met α.
D var(B̂ML ) is omgekeerd evenredig met
√
α.
238 De onafhankelijke toevallige veranderlijken X en Y zijn beide standaardnormaal verdeeld.
Waaraan is cov(3X 2 +Y 2 , 2Y 2 ) gelijk?
A 4
B 2
√
C 2 2
D 10
√
E 6+2 2
105
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
239 Welke van de volgende functies (eventueel gedeeltelijk bepaald) kan de distributiefunctie F van de toevallige veranderlijke X zijn, als je weet dat P(1 ≤ X ≤ 3) = 1/2? Een
grijze zone in de figuur wil zeggen dat de functie F daar niet gekend is.
A
F(z)
1
1
2
0
1
2
3
4
z
0
1
2
3
4
z
0
1
2
3
4
z
2
3
4
z
B
F(z)
1
1
2
C
F(z)
1
1
2
1
4
D
F(z)
1
1
2
106
0
1
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
240 We hebben twee muntstukken a en b. Voor muntstuk a is de waarschijnlijkheid op munt
pa ∈ (0, 1), en voor muntstuk b is die waarschijnlijkheid pb ∈ (0, 1). We volgen deze
procedure: we gooien herhaalde keren met een van de muntstukken.
– We beginnen met muntstuk a.
– Zolang met een muntstuk kop wordt gegooid, gebruiken we hetzelfde muntstuk
ook bij de volgende toss.
– Wanneer met een muntstuk munt wordt gegooid, gebruiken we bij de volgende
toss het andere muntstuk.
– We stoppen met tossen als we in totaal twee keer munt hebben gegooid.
Wat is de verwachtingswaarde van het aantal keer dat wordt getost?
A
1−pb
pa
a
+ 1−p
pb
B
1−pa
pa
b
+ 1−p
pb
C
1−pa pb
pa pb
D
1−pa
pa
b
+ 1+p
pb
241 De verdeling van het inkomen X van een gezin kan worden beschreven door een
zogenaamde Dagum-verdeling met als densiteit

2p−1
2p x
als x > 0
(x2 + 1) p+1
fX (x) =

0
elders
waarin p > 0 een positieve reële parameter is. We nemen een steekproef (x1 , x2 , . . . , xn )
van het inkomen van n gezinnen. Voor economische toepassingen is de parameter
1
q := e p belangrijk.
Wat is de maximale-likelihoodschatting q̂ML (x1 , . . . , xn ) voor q?
A q̂ML (x1 , . . . , xn ) = 1n ∑ni=1 xi2 (xi2 + 1)
B q̂ML (x1 , . . . , xn ) = ∏ni=1 xi2
n1
xi2 +1
xi2
C q̂ML (x1 , . . . , xn ) = ∑ni=1
D q̂ML (x1 , . . . , xn ) = ∏ni=1
1n
xi2 +1
xi2
1n
107
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
242 Aan zes studenten van de Universiteit Gent werd gevraagd om hun conditie te beoordelen met een heeltallige score van nul tot tien. Als je weet dat de resultaten van deze kleine
enquête zijn weergegeven in een van de onderstaande vier kader-met-staafdiagrammen,
over welk kader-met-staafdiagram gaat het dan?
1
2
7
4
8
4, 5
A
0
2
3
8
10
8
10
4, 6
B
2
3
7
5
C
0
5
2
7
9
4
D
E Er zijn onvoldoende gegevens beschikbaar om deze vraag te kunnen beantwoorden.
243 We beschouwen een toevallige veranderlijke X met twee mogelijke uitkomsten: 0 en
1. De waarschijnlijkheid dat X de waarde 1 aanneemt (we noemen dit een succes) is
gegeven door p. We doen nu op een onafhankelijke manier n experimenten, waarbij we
in het k-de experiment Nk keer op onafhankelijke wijze de waarde van X bemonsteren,
wat aanleiding geeft tot sk successen. Wat is de maximale-likelihoodschatting voor p?
A p̂ML =
∑nk=1 sk
∑nk=1 Nk
B p̂ML = ∑nk=1 Nskk
C p̂ML = n1 ∑nk=1 Nskk
D p̂ML =
n
1 ∑k=1 sk
n ∑nk=1 Nk
244 Beschouw een toevallige steekproef (X1 , X2 , . . . , Xn ) uit een standaardnormale verdeling.
Wat is de momentenfunctie van het steekproefgemiddelde X n ?
1 2
A e2t
1 2
B e 2n t
n 2
C e2t
D geen van de bovenstaande
108
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
245 Een reële continue toevallige veranderlijke X heeft de zogenaamde Rayleigh-verdeling,
met densiteit:

x2
 2x
exp(− )
x≥0
f (x|λ ) = λ
λ

0
elders.
n
De ruwe momenten van deze verdeling zijn gegeven door E(X n ) = λ 2 Γ(1 + 2n ) voor
n ≥ 0. De maximale-likelihoodschatter van de positieve reële parameter λ is gegeven
door:
1 n
Λ̂ML (X1 , . . . , Xn ) = ∑ Xk2 .
n k=1
Wat is de standaardfout voor deze maximale-likelihoodschatter?
A
λ2
n
B
λ
√
n
C λ
D
q
2
n
λ2
√
n
246 X en Y zijn twee gezamenlijk normaal verdeelde toevallige veranderlijken met verwachtingswaarden µX = µY = 1, varianties σX2 = σY2 = 1 en correlatiecoefficient
ρ(X,Y ) = 1/2. Dan is de waarde fX,Y (u, v) van de gemeenschappelijke densiteit fX,Y in
(u, v) ∈ R2 gelijk aan:
1 −1 u−1
2
1
2
√
A π 3 exp − 3 u − 1 v − 1
v−1
− 21 1
q
1 1 u−1
2
1
2
B
1
3π exp − 2 u − 1 v − 1
v−1
2 1
√
1 −1 u−1
3
1
2
C 4π exp − 2 u − 1 v − 1
v−1
− 12 1
1 1 u−1
2
1
2
D 3π exp − 2 u − 1 v − 1 1
v−1
2 1
109
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
247 Een decoder ontvangt berichten waarvan de lengte gemodelleerd kan worden door de
continue toevallige veranderlijke T die uniform verdeeld is over het interval [1, 3]. Als
de lengte van een ontvangen bericht T = t is, heeft de decoder een tijd X – uniform
verdeeld over het interval [0,t] – nodig om dit ontvangen bericht te decoderen. De
waarde fX (2) van de marginale densiteit fX in 2 is gelijk aan:
A
1
2
ln 32
B
1
2
ln 3
C 0
D
1
2
ln 2
248 In de cursus WenS wordt in het deel over lineaire regressie de toevallige veranderlijke
Yi = β0 + β1 xi + εi , i = 1, . . . , n ingevoerd als waarschijnlijkheidsmodel voor de i-de
meting van de grootheid Y die correspondeert met een waarde xi van de grootheid X.
De toevallige veranderlijke εi modelleert hierbij de fout op de i-de meting en wordt
verondersteld aan een aantal basiseigenschappen te voldoen: normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit, met gemeenschappelijke variantie die we
door σ 2 voorstellen, en waarvan we hier veronderstellen dat σ 2 > 1.
We gebruiken nu dezelfde modellering, maar vervangen de basisveronderstelling
van nulvertekening door de aanname dat E(εi ) = µ > 0. We noteren de maximalelikelihoodschattingen van β0 en β1 die corresponderen met de bovenstaande modellering
µ
µ
als β̂0,ML en β̂1,ML en de schattingen die we krijgen met de kleinstekwadratenmethode
als b0 en b1 .
Welke van de onderstaande uitspraken is dan waar?
µ
A β̂0,ML = b0 − µ.
µ
B β̂0,ML = b0 − σµ .
µ
C β̂0,ML = b0 + µ.
µ
D β̂0,ML = b0 + σµ .
µ
E β̂0,ML = b0 .
110
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
249 We beschouwen een enkelvoudige lineaire regressie van Y op X, waarbij met elke predictor xi een toevallige respons Yi overeenkomt (i ∈ {1, 2, . . . , n} met n ≥ 2). We gaan
ervan uit dat alle n predictoren xi verschillend zijn, en dat xn = 0. We nemen aan dat
voldaan is aan alle basisveronderstellingen (normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit). De maximale-likelihoodmethode geeft dan schatters B̂0,ML
en B̂1,ML en schattingen β̂0,ML = B̂0,ML (y1 , y2 , . . . , yn ) en β̂1,ML = B̂1,ML (y1 , y2 , . . . , yn )
van het intercept β0 en de helling β1 in de formule Y = β0 + β1 X + ε. Welke van de
volgende uitspraken is dan niet noodzakelijk waar?
A Als β̂1,ML 6= 0 dan is de lineaire regressielijn van X op Y gegeven door de
vergelijking x =
β̂
1
y − 0,ML .
β̂1,ML
β̂1,ML
B B̂0,ML en B̂1,ML zijn onafhankelijke toevallige veranderlijken.
C B̂0,ML = Y n .
D De lineaire regressielijn van X op Y gaat door het punt (0, yn ).
E Als we de predictor xn+1 = −1 en de corresponderende toevallige respons Yn+1
toevoegen aan onze steekproef, dan zijn B̂0,ML en B̂1,ML positief gecorreleerd.
111
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
250 Beschouw de volgende waarschijnlijkheidsboom:
R
2/3
p
M
1/2
K
1/2
M
K
M
K Winst
6 Winst
1/4
G
5 Winst
B
1/6
1/6
4
3
1/6
1/6
2
1
Merk op dat enkele conditionele waarschijnlijkheden ontbreken; een ervan heeft de
onbekende waarde p. Verder zijn die situaties die aanleiding geven tot winst op de boom
aangeduid. Wat is het interval met alle mogelijke waarden voor de waarschijnlijkheid van
‘Winst’ die niet in tegenspraak zijn met de gegeven conditionele waarschijnlijkheden?
A [1/8, 1/6]
B [1/8, 1/4]
C [3/16, 3/16]
D [1/6, 1/6]
E geen van de bovenstaande
251 De logaritme ln(Y ) van de positieve toevallige veranderlijke Y is normaal verdeeld met
verwachtingswaarde µ en standaardafwijking σ . Wat is de formule voor de densiteit
fY (y) van Y voor y > 0?
A
1
√
σ y 2π
B
√1
σ 2π
C
1
√
σ y 2π
D
√1
σ 2π
)2 )
exp(− 21 ( ln(y)−µ
σ
exp(− 21 ( ln(y)−µ
)2 )
σ
2
exp(− 21 ln( y−µ
σ ) )
2
exp(− 21 ln( y−µ
σ ) )
112
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
252 Wat is de momentenfunctie MY 2 (t) van het kwadraat Y 2 van een normaal verdeelde
veranderlijke X met E(X) = 0 en var(X) = σ 2 ?
A
√ 1
1−2σt
B
√ 1
1−2σ 2 t
C e
σ 8t4
2
D e
σ 4t4
2
voor t <
voor t <
1
2σ
1
2σ 2
voor t ∈ R
voor t ∈ R
253 We bekijken drie toevallige veranderlijken X, Y en Z met respectieve mogelijkhedenverzamelingen WX = {0, 1}, WY = {−1, 0, 1} en WZ = {0, 1}. Voor deze veranderlijken
zijn de volgende conditionele waarschijnlijkheden gekend:
p(X = 0) = 1/3,
P(Y = 0|X = 0) = 1/5,
P(Y = 1|X = 0) = 2/5,
P(Y = 0|X = 1) = 1/4,
P(Y = 1|X = 1) = 1/2,
P(Z = 0|Y = 0, X = 0) = 1/9,
P(Z = 0|Y = 1, X = 0) = 1/6,
P(Z = 0|Y = −1, X = 0) = 1/4.
De waarde van P ((X,Y, Z) = (0, −1, 0)) is dan
A 1/135
B 1/60
C 1/30
D 1/48
113
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
254 Beschouw Z3 , het rooster van reële tripletten met gehele componenten. In dit rooster
kunnen er de volgende basisstappen gezet worden: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, −1, 0).
Een pad is een combinatie van basisstappen in een bepaalde volgorde. Hoeveel verschillende paden zijn er om van (0, 0, 0) naar (3, 1, 1) te geraken?
A 900
B 20
C 4
D 46200
255 Op de onderstaande figuur is (een deel van) de distributiefunctie van een reële toevallige
veranderlijke X getekend.
FX (x)
1
3/4
1/2
1/8
0
1
2
3
4
x
Waaraan is P(X ∈ [2, 3]) gelijk?
A 0
B
1
4
C
3
8
D
5
8
256 Voor een continue toevallige veranderlijke X weten we dat E(X) = 5 en var(X) = 9.
Dan levert de Chebyshev-ongelijkheid de volgende ondergrens voor P(0 < X < 10):
A 9/25
B
16/25
C 9/100
D 4/5
114
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
257 Van een continue reële toevallige veranderlijke X ≤ 0 weten we dat E(X) < 0. Welke
van de volgende functies zou een geldige momentenfunctie MX van X kunnen zijn?
MX (t)
1
t
A
MX (t)
1
t
B
MX (t)
1
t
C
MX (t)
1
t
D
MX (t)
1
115
t
E
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
258 Voor de wedstrijd ‘vraag van de week’ zijn er zeven vragen. Het aantal studenten Nk dat
k van de zeven vragen correct heeft, is in de tabel hieronder weergegeven. U vindt er
ook het aantal lotjes k5 dat wordt uitgedeeld aan elke student met k juiste antwoorden,
en het totale aantal lotjes Nk k5 dat voor k juiste antwoorden wordt toegekend. Na het
toekennen van de lotjes wordt een van ze lukraak getrokken, en de houder van het
getrokken lotje wint de loterij (en een prijs).
k
0
1
2
3
4
5
6
7
som
Nk
k5
Nk k5
0
0
0
81
1
81
28
32
896
6
243
1458
6
1024
6144
5
3125
15625
2
7776
15552
1
16807
16807
129
56563
We willen iets weten over P(k|W), de waarschijnlijkheid dat als iemand de lotterij wint,
hij of zij k antwoorden juist heeft gehad. De tabel bevat informatie die nuttig kan zijn
om dat soort waarschijnlijkheden te berekenen. Je mag er hierbij van uitgaan dat P(k),
de a priori waarschijnlijkheid om k vragen juist te beantwoorden, evenredig is met Nk .
Welke van de volgende uitspraken is dan waar?
A P(1|W) < P(2|W) < P(3|W) < P(4|W) < P(5|W) < P(6|W) < P(7|W).
B P(7|W) > P(5|W) > P(6|W).
C P(7|W) > 0, 3.
D P(1|W) + P(2|W) > P(3|W).
259 De waarschijnlijkheid dat het op een willekeurige dag in Wakkerdam regent is 1/3.
Karen, een inwoonster van Wakkerdam, is een fervente jogster. Als het niet regent, dan
is de waarschijnlijkheid dat Karen die dag gaat joggen gelijk aan 2/3. Als het regent,
dan gaat Karen zeker niet joggen. Als je weet dat Karen niet ging joggen, wat is dan de
waarschijnijkheid dat het die dag regende?
A 2/3
B 1
C 3/5
D geen van de bovenstaande
116
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
260 In een enkelvoudige lineaire regressie komt met elke predictor xk een toevallige respons
Yk overeen (k = 1, . . . , n). We nemen aan dat voldaan is aan de basisveronderstellingen
van normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit. De maximalelikelihoodmethode geeft dan een schatting B̂1,ML voor de helling β1 in de formule
Y = β0 + β1 X + ε. Wat is de algemeen sterkste ware uitspraak die we kunnen maken
over Y n en B̂1,ML ?
A Y n en B̂1,ML zijn gecorreleerd.
B Y n en B̂1,ML zijn ongecorreleerd.
C Y n en B̂1,ML zijn afhankelijk.
D Y n en B̂1,ML zijn onafhankelijk.
261 Een urne bevat 8 ballen waarvan 3 rode en 5 blauwe. Hieruit worden ballen getrokken
zonder terugplaatsing. Laat Xi met i ∈ {1, 2, . . . , 8} gelijk zijn aan 1 wanneer in de i-de
trekking een rode bal wordt getrokken, 0 anders. Wat is de verwachtingswaarde van het
product X1 (1 − X3 )?
A
15/56
B 3/28
C
15/64
D geen van de bovenstaande
117
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
262 De levensduur X van een mens wordt vaak gemodelleerd met een Gamma/Gompertzverdeling. Die heeft in vereenvoudigde vorm als densiteit

s x
 s2 e
als x ≥ 0
fX (x) = (1 + ex )s+1

0
elders,
met s > 0 een positieve reële parameter. We nemen een steekproef (x1 , x2 , . . . , xn ) van
de levensduur van n mensen. Voor toepassingen is de parameter p := 1s belangrijk. Wat
is de maximale-likelihoodschatting p̂ML (x1 , . . . , xn ) voor p?
x
i
A p̂ML (x1 , . . . , xn ) = 1n ∑ni=1 ln( 1+e
2 )
B p̂ML (x1 , . . . , xn ) = xn − ln(2)
C p̂ML (x1 , . . . , xn ) =
D p̂ML (x1 , . . . , xn ) =
n
xi
∑ni=1 ln( 1+e
2 )
1
xn −ln(2)
E p̂ML (x1 , . . . , xn ) = − ln(2)
263 Filip gaat van huis tot huis in Laakdal om lotjes te verkopen voor de tombola van de
lokale rugbyploeg. De waarschijnlijkheid dat men er in een willekeurig huis een lotje
koopt is 1/10. (Meer dan een lotje kopen is helemaal not done in Laakdal, en het al dan
niet kopen van een lotje in twee verschillende huizen is onafhankelijk van elkaar; ga er
voor de eenvoud ook van uit dat er een onbegrensd aantal huizen is in Laakdal). Wat is
het verwachte aantal huizen waar Filip moet aanbellen om 20 lotjes te verkopen?
A 200
B 180
C 181
D 199
E 190
118
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
264 Een scram is de term gebruikt in de kernenergietechniek voor een snelle noodstop van
een kernreactor. De nucleaire sector heeft in het verleden enorme inspanningen gedaan
om het aantal ongeplande scrams beduidend naar beneden te halen. In de onderstaande
tabel geven we het aantal van het in totaal 226 scrams dat is opgetreden in elk van 56
kernreactoren in de VS in één van de voorbije jaren:
1
4
2
4
0
2
4
3
3
7
5
5
1
12
3
2
4
0
2
7
2
3
7
8
10
8
13
5
6
2
4
2
5
0
2
4
2
9
3
3
0
3
3
4
3
3
7
0
1
4
0
1
8
2
9
2
10
1
11
0
5
7
9
7
De hieruit afgeleide absolute-frequentietabel is dan:
Scrams
Reactoren
0
6
1
4
2
9
3
10
4
8
5
5
6
1
7
6
12
1
13
1
dus 6 reactoren hadden 0 scrams in dat jaar, 4 hadden er 1, enzovoort. Welke van de volgende figuren vat de data (aantal scrams) correct samen in een kader-met-staafdiagram?
0
2
3
5
13
5
13
4
A
0
2
3
4, 0357
B
0
2
3
6
13
6
13
4
C
0
2
3
4, 0357
D
119
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
265 De weerman geeft een waarschijnlijkheid van 50% dat het morgen zal regenen. De
interpretatie van deze waarschijnlijkheid is:
A klassiek
B frequentistisch
C subjectivistisch
266 Beschouw de onderstaande waarschijnlijkheidsboom, waarop niet alle waarschijnlijkheden zijn ingevuld.
p
1/2
3/16
1/2 1/2
1/8 3/8
1/16
winst
winst
verlies
verlies
winst
verlies
winst
winst
verlies
verlies
Wanneer p alle toegelaten waarden doorloopt, wat is dan het corresponderend interval
voor de waarschijnlijkheid van winst?
A [3/8, 1/2]
B [3/8, 5/8]
C [1/2, 5/8]
D er zijn onvoldoende gegevens om het probleem op te lossen
120
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
267 We definieren we voor k ∈ N de verzamelingen Nk := {nk : n ∈ N ∪ {0}} van de
veelvouden van k. Als geweten is dat P({0}) > 0, welke van de volgende uitspraken is
dan zeker waar? In de antwoorden staat kgv{a, b} voor het kleinste gemeen veelvoud
van a en b.
A P(N12 |N4 ) < 1.
B Voor elke k, ` ∈ N geldt dat P(Nkgv{k,`} |N` ) = 1.
C Er zijn k, ` ∈ N zodat P(Nk |N` ) = 0.
D P(N4 |N12 ) = 1.
268 Een urne bevat 3 rode, 2 blauwe en een onbekend aantal n groene ballen. Uit de urne
worden ballen getrokken zonder terugplaatsing. Laat Xi met i ∈ {1, 2, . . . , n + 5} gelijk
zijn aan 1 wanneer in de i-de trekking een rode bal wordt getrokken, 0 anders. Welke
van de volgende uitspraken is correct?
A E(X1 X2 X3 ) < E(X1 X3 X5 ).
B E(X1 X2 X3 ) = E(X1 X3 X5 ).
C E(X1 X2 X3 ) > E(X1 X3 X5 ).
D er is onvoldoende informatie om te bepalen welke van de drie bovenstaande
mogelijkheden correct is.
269 Jefke de Lathouwer tracht honderd meter af te meten door honderd passen te zetten. De
lengten Li van de afzonderlijke passen zijn onafhankelijk, met E(Li ) = 1 en var(Li ) =
1/300. Wat is de (eventueel benaderde) waarschijnlijkheid dat de afgemeten afstand
minder dan 1 meter verschilt van de gewenste 100 meter?
A 1 − 1/300
B Φ(3) − Φ(−3)
√
C 2Φ( 3) − 1
√
D 2Φ(10 3) − 1
121
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
270 Een continue toevallige veranderlijke X ∈ (0, 1) heeft distributiefunctie FX , en een
discrete toevallige veranderlijke Y ∈ {−1, 0, 1} heeft distributiefunctie FY .
Welke van de onderstaande uitspraken is dan niet altijd waar?
A FX 2 (z) ≥ FX (z) voor alle z in R.
B FY 2 (z) ≤ FY (z) voor alle z in R.
C FX (−1) = FY (−1).
D FY 2 (1/2) = FY 4 (1/2).
E F−X (0) − FX (0) = 1.
271 Van twee reële toevallige veranderlijken
X en Y weten we dat E(X) = E(Y ) = 0,
√
6
var(X) = 2, var(Y ) = 3 en ρ(X,Y ) = /6. Voor welke waarde van λ in [0, 1] is de
verwachtingswaarde E[(λ X + (1 − λ )Y )2 ] het kleinst?
A 0
B 1
C
1
3
D geen van de bovenstaande
272 Met een Bernoulli-proces met waarschijnlijkheid op succes p en waarschijnlijkheid op
falen q = 1 − p, associëren we de geometrisch verdeelde veranderlijke T die het aantal
falingen geeft vóór het eerste succes. We nemen een toevallige steekproef (t1 ,t2 , . . . ,tn )
van deze veranderlijke T . Wat is de maximale-likelihoodschatting Θ̂ML (t1 , . . . ,tn ) voor
de parameter θ = qp ?
A
1 n
n ∑k=1 tk
1+ 1n ∑nk=1 tk
B
1
n
∑nk=1 tk
C ∑nk=1 tk
D geen van de bovenstaande
122
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
273 Het aantal klanten dat binnenkomt in de winkel van Nathalie volgt een Poisson-proces
met een tempo van vijf per uur. De toevallige veranderlijke N is het aantal klanten
dat binnenkomt gedurende het laatste half uur voor sluitingstijd. Elk van die klanten k
koopt Xk artikelen, voor k = 1, . . . , N. De toevallige veranderlijken Xk zijn onafhankelijk
van elkaar en van N, en zijn geometrisch verdeeld met parameter 15 . Wat is dan de
verwachtingswaarde van het totale aantal artikelen AN = ∑Nk=1 Xk dat wordt gekocht in
dat laatste half uur?
Hint: Vind eerst de verwachtingswaarde E(An ) voor vaste N = n > 0, en pas dan de wet
van totale waarschijnlijkheid voor verwachtingswaarden toe. Let wel, voor N = n = 0
zijn er geen klanten, en dus ook geen verkochte artikelen: A0 = 0.
A 10
B 12, 5
C 20
D 25
274 De toevallige veranderlijke X heeft de volgende verdeling:

 θ
als x > 1
fX (x|θ ) = xθ +1

0
als x ≤ 1,
met parameter θ > 0. We beschouwen de variantie var(Θ̂ML ) van de maximalelikelihoodschatter Θ̂ML van de parameter θ in een toevallige steekproef met grootte n.
We nemen aan dat n groot genoeg is, zodat we deze variantie kunnen berekenen langs
de Fisher-informatie In (θ ) om. Welke van de vier volgende uitspraken is dan correct?
√
A var(Θ̂ML ) is omgekeerd evenredig met n.
B var(Θ̂ML ) is evenredig met θ .
C var(Θ̂ML ) is evenredig met θ 2 .
D var(Θ̂ML ) = θ .
123
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
275 Gegeven is een ongedocumenteerd MATLAB m-bestand, en de bij uitvoering ervan
resulterende figuur:
clear all ;
close all ;
2000
1800
n = 1000;
m = 10000;
p = .3;
1600
1400
1200
1000
X = rand (n , m );
Y = X >1 - p ;
Z = ...
800
600
400
200
0
stap = .5;
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
hist (Z , -3: stap :3)
h = findobj ( gca , ’ Type ’ , ’ patch ’ );
set (h , ’ FaceColor ’ ,[.4 .4 .4] , ’ EdgeColor ’ , ’w ’)
hold on
t = -3:.1:3;
plot (t , stap * m * normpdf ( t ) , ’k ’ , ’ LineWidth ’ ,2)
De definitie van Z is echter weggelaten. Welke van de volgende definities werd gebruikt
om de figuur te krijgen?
A Z = sum(Y)-n*p;
B Z = mean(Y-p)./std(Y);
C Z = (mean(Y)-p)/sqrt(p*(1-p));
D Z = (sum(Y)-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));
E Z = (Y-mean(Y))./std(Y);
276 We beschouwen een enkelvoudige lineaire regressie, waarbij met elke predictor xi
een toevallige respons Yi overeenkomt (i = 1, 2, . . . , n). We nemen aan dat voldaan is
aan alle basisveronderstellingen van normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en
homoscedasticiteit. De maximale-likelihoodmethode geeft dan schattingen β̂0,ML en
β̂1,ML van het intercept β0 en de helling β1 in de formule Y = β0 + β1 X + ε.
Welke van de volgende uitspraken is waar?
A xn is altijd een element van de predictors x1 , x2 , . . . , xn .
B Het punt (xn , β̂1,ML xn ) ligt altijd op de regressielijn.
C Door (xn , yn ) toe te voegen aan de predictors en responsen (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . ,
(xn , yn ) veranderen we nooit de regressielijn.
D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar.
124
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
277 Met MATLAB werden er enkele plots van een dataset gemaakt:
25
8
25
x 10
8
6
x 10
40
10
6
20
10
4
4
2
2
0
10
0
0
5
10
15
0
−10
10
−20
0
10
10
10
10
0
6
5
10
15
6
x 10
x 10
Noem X de toevallige veranderlijke uitgezet in abscis, en Y de toevallige veranderlijke
uitgezet in ordinaat. Wat is het meest geschikte, intrinsiek lineaire, regressiemodel voor
deze dataset?
A Een lineaire wet Y = β0 + β1 X
B Een exponentiële wet Y = αeβ X
C Een machtwet Y = αX β
D Een logaritmische wet Y = logβ (αX)
278 De klantbezoeken aan de winkel van Nathalie maken een Poisson-proces uit met tempo
λ̇ , uitgedrukt in bezoeken per uur. Op een dag gaan Nathalie en Lieve metingen doen
bij de eerste vijf klanten die binnen komen.
Nathalie meet vijf keer de tijd T (in uren) tussen twee gebeurtenissen, en noteert dus
de duur t1 tot de eerste klant, en dan voor elk van de vier volgende klanten de tijden t2 ,
t3 , t4 en t5 tussen die klant en de vorige. Ze gebruikt haar gegevens om een maximalelikelihoodschatting λ̇ˆ 1 te vinden voor de parameter λ̇ van de verdeling van de toevallige
veranderlijke T .
Lieve meet gewoon de tijd T5 (in uren) tot de vijfde klant, en heeft dus een enkele
meting t, die natuurlijk gelijk is aan t1 + t2 + t3 + t4 + t5 . Ook zij gebruikt haar enkele
meting om een maximale-likelihoodschatting λ̇ˆ 2 te vinden voor de parameter λ̇ van de
verdeling van de toevallige veranderlijke T5 .
Welke van de volgende uitspraken is dan niet correct?
A λ̇ˆ 2 = 5/t.
B λ̇ˆ 1 =
6 λ̇ˆ 2 .
C T5 heeft een Gamma-verdeling met α = 5 en β = λ̇1 .
D Beide maximale-likelihoodschattingen hebben dezelfde standaardfout.
125
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
279 Gegeven zijn de massafunctie van de toevallige veranderlijke X:
(
2−(z+1) als z ∈ {0, 1, 2, . . . },
fX (z) =
0
elders
en de conditionele massafunctie voor de toevallige veranderlijke Y gegeven X:
(
2u−v als v ∈ {0, 1, 2, . . . } en v > u,
fY |X (v|u) =
0
elders.
Dan is de waarde fY (1) van de marginale massafunctie fY in 1 gelijk aan:
A 1/2
B 1/8
C 1/4
D 0
280 We nemen een toevallige steekproef x1 , . . . , xn met grootte n uit een normale verdeling
met gekende variantie σ 2 > 0. Welke van de onderstaande intervallen is een 99,5%
betrouwbaarheidsinterval voor de verwachtingswaarde µ = E(X)?
A −∞, xn + 2, 81 σn
B xn − 2, 58 √σn , +∞
C (xn − 2, 81 σ , xn + 2, 81 σ )
D xn − 2, 58 √σn , xn + 2, 58 √σn
281 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y wordt gegeven
door:
1
fX,Y (x, y) = α exp − (x2 + y2 )
voor (x, y) in R2 ,
4
waarbij α een normalisatieconstante is. De toevallige veranderlijken U en V worden
X−Y
gedefinieerd als U = X+Y
2 en V = 2 .
Welke van de onderstaande uitspraken is correct?
A U en V zijn onafhankelijk.
B α=
1
2π .
C De toevallige veranderlijken U en X hebben identiek dezelfde verdeling.
D Geen van de bovenstaande antwoorden is correct.
126
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
282 Een urne bevat 10 ballen waarvan 5 rode en 5 blauwe. Hieruit worden ballen getrokken
zonder terugplaatsing. Laat Xi met i ∈ {1, 2, . . . , 10} gelijk zijn aan 1 wanneer in de i-de
trekking een rode bal wordt getrokken, 0 anders. Wat is de verwachtingswaarde van het
product X1 X3 X5 ?
A 1/12
B 1/8
C 1/2
D 3/4
283 Een computerbouwer gebruikt zeven fabricanten voor een bepaalde component in zijn
laatste laptopmodel. Voor fabricant k is de verhouding van het geleverde aantal van
de component tot het totale aantal gegeven door pk , en de waarschijnlijkheid dat een
willekeurige gekozen component daaronder defect is, is na uitvoerig testen geschat op
qk . De getallen pk en qk vind je in de volgende tabel:
k
pk
qk
1
0,15
0,001
2
0,05
0,0003
3
0,10
0,0007
4
0,20
0,0009
5
0,12
0,0002
6
0,20
0,0002
7
0,18
0,001
Wanneer in jouw laptop een defecte component van dit type wordt vastgesteld, en je
weet zeker dat die niet is geleverd door 1, 4 of 7, welke is dan de meest waarschijnlijke
leverancier onder de overblijvende fabricanten?
A 6
B 5
C 2
D 3
284 Beschouw de toevallige veranderlijke Y = eX , met X standaardnormaal verdeeld.
Waaraan is de variantie var(Y ) gelijk?
A e
B e(e − 1)
C e2
D 1
127
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
285 De toevallige veranderlijke X is exponentieel verdeeld met parameter 1. Als Z =
waaraan is fZ (1/2) gelijk?
A fZ (1/2) = 4/e
B fZ (1/2) = 1/4e
C fZ (1/2) = 1/e
D fZ (1/2) = 1/(1+e)
128
X
X+1 ,
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
286 Van een reële toevallige veranderlijke X ≥ 0 weten we dat E(X 2 ) > 0. Welke van de
volgende functies zou een geldige momentenfunctie MX van X kunnen zijn?
MX (t)
1
0
t
A
MX (t)
1
0
t
B
MX (t)
1
0
t
C
MX (t)
1
0
t
D
129
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
287 De toevallige veranderlijken X, Y en Z zijn gemeenschappelijk uniform verdeeld op
WX,Y,Z = {(x, y, z) ∈ {0, 1}3 : x + y + z is een tweevoud}. Stel dat a, b, en c hetzelfde
teken hebben en verschillend zijn van nul. Welke van de vier volgende uitspraken geldt
dan?
A var(aX + bY + cZ + d) < a2 σX2 + b2 σY2 + c2 σZ2 .
B var(aX + bY + cZ + d) = a2 σX2 + b2 σY2 + c2 σZ2 + abσX,Y + bcσY,Z + caσZ,X .
C var(aX + bY + cZ + d) > a2 σX2 + b2 σY2 + c2 σZ2 .
D er zijn onvoldoende gegevens om te bepalen welke van de bovenstaande uitspraken correct is.
288 De toevallige veranderlijke X is geometrisch verdeeld met parameter p ∈ (0, 1) (de
waarschijnlijkheid op succes). We nemen een steekproef (x1 , . . . , x81 ) van grootte 81 uit
die geometrische verdeling. Het steekproefgemiddelde xn is gelijk aan 9.
Welke van de volgende uitspraken is dan correct?
√
√ 10 1
10
1
A 10
− z1− α2 300
, 10 + z1− α2 300
is een benaderend 100(1 − α)%betrouwbaarheidsinterval voor de parameter p.
√
√ 10 1
10
B 91 − z1− α2 300
, 9 + z1− α2 300
is
een
benaderend
100(1 − α)%betrouwbaarheidsinterval voor de parameter p.
√
√ 10 1
10
1
C 10
− z1− α2 300
, 10 + z1− α2 300
is een benaderend 100(1 − α/2)%betrouwbaarheidsinterval voor de parameter p.
√
√ 10 1
10
D 91 − z1− α2 300
, 9 + z1− α2 300
is
een
benaderend
100(1 − α/2)%betrouwbaarheidsinterval voor de parameter p.
1
1
1
1
α
E 10
,
is een benaderend 100(1 − α/2)%− z1− α2 9·10
+
z
3 10
1− 2 9·103
betrouwbaarheidsinterval voor de parameter p.
130
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
289 In een van de PC-sessies onderzochten we een dataset (vector X) die het nicotinegehalte
van een reeks sigaretten bevatte. We vonden onder andere de grafiek van de empirische
distributiefunctie; een geannoteerde versie hiervan is hieronder gegeven:
m−s
m
m+s
1
0.9
0.8
bovenste kwartiel
0.7
F(x)
0.6
mediaan
0.5
0.4
0.3
onderste kwartiel
0.2
0.1
0
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
x
1.8
2
2.2
2.4
2.6
De kortste manier om een grafische weergave van de empirische distributiefunctie te
bekomen in MATLAB is het commando ecdf. Welke van de onderstaande commandosequenties zal ook een correcte grafiek genereren?
A stairs(cumsum(X))
B n=length(X), stairs(sort(X),(1:n)/n)
C n=length(X), stairs(sort(X,’descend’),1:n)
D n=length(X), plot(cumsum(X),(1:n)/n)
290 Welke van de onderstaande uitspraken is waar?
A De Chebyshev-ongelijkheid is een speciaal geval van de Markov-ongelijkheid.
B Het MATLAB-commando std geeft een onvertekende schatter voor de variantie
van een toevallige veranderlijke.
C Het resultaat van het MATLAB-commando quantile zal altijd een element uit
de steekproef zijn.
D Voor een Poisson-proces geldt dat het aantal gebeurtenissen in twee disjuncte
tijdsintervallen gecorreleerd is.
131
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
291 Op de onderstaande waarschijnlijkheidsboom zijn niet alle waarschijnlijkheden ingevuld.
Wat is het interval met alle mogelijke waarden voor de waarschijnlijkheid van winst die
niet in tegenspraak zijn met de gegeven waarschijnlijkheden?
1
4
1
2
1
5
winst verlies
winst verlies winst
1
10
1
10
winst verlies winst verlies verlies
A [0, 9/10]
B [3/20, 9/10]
C [3/20, 1]
D Er zijn onvoldoende gegevens om het probleem op te lossen.
292 Beschouw een continue toevallige veranderlijke X met FX (z) = z2 voor 0 ≤ z ≤ 1. In
dit geval zal de waarde MX (t) van de momentenfunctie MX in t gelijk zijn aan:
A
1−(1−t)et
t 2/2
B
(t 2 −2t+2)et −2
t3
C
(1−it)eit −1
t 2/2
k
2t
D ∑∞
k=0 k+1
132
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
293 Beschouw de volgende Matlab-functie:
function res = DoeIets ( n )
% deze functie doet iets
% invoer : n is een natuurlijk getal ( verschillend van nul )
X = 4* randn (n ,1);
Xn = sum ( X )/ n ;
DeltaX = X - Xn ;
res = sum ( DeltaX .^2)/( n -1);
end
Op deze manier is doeIets een functie van n. We maken n groter en groter—maar niet
zo groot dat er zich numerieke fouten voordoen. Dan wordt het zeer waarschijnlijk dat
de waarde voor
doeIets ( n )
dicht bij welk getal zal komen te liggen?
A 1
B 2
C 4
D 16
133
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
294 Welke van de volgende figuren stelt een correcte distributiefunctie F of densiteit f
voor?
A
f (z)
1
1
2
0
1
2
3
4
z
0
1
2
3
4
z
0
1
2
3
4
z
0
1134 2
3
4
z
B
F(z)
1
1
2
C
F(z)
1
1
2
D
F(z)
1
1
2
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
295 De toevallige veranderlijke ln X is standaardnormaal verdeeld. Wat is dan de densiteit fX
van de toevallige veranderlijke X?
A
1 2
√1 e− 2 ln (z)
2π
z > 0,
0
elders.
(
fX (z) =
B
1 2
√ 1 e− 2 ln (z)
2πz2
z > 0,
0
elders.
(
fX (z) =
C
1 2z
√ 1 e− 2 ze
2πz2
z ∈ R,
0
elders.
(
fX (z) =
D
1 2z
√1 e− 2 ze
2π
z ∈ R,
0
elders.
(
fX (z) =
296 We rollen tweemaal met een (standaard) zeskantige dobbelsteen, waarop de zijden
genummerd zijn van 1 tot en met 6. We beschouwen de volgende gebeurtenissen.
A
B
C
D
E
Elk van de worpen is ten minste 2.
Ten minste een van de twee worpen is 6.
De som van de twee worpen is ten minste 7.
De absolute waarde van het verschil tussen de twee worpen is 1.
De som van de twee worpen is 8.
Welke van de onderstaande uitspraken is de correcte?
A A en E zijn logisch onafhankelijk.
B B en E zijn logisch onafhankelijk.
C C en E zijn logisch onafhankelijk.
D D en E zijn logisch onafhankelijk.
135
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
297 Waaraan is P (X ∈ [2, 4)) gelijk als de distributiefunctie van de veranderlijke X is zoals
in de figuur?
FX (z)
1
7/8
1/2
3/8
1/4
1/8
0
1
2
3
4
5
z
A 2/8
B 3/8
C 5/8
D 6/8
298 We nemen een steekproef van grootte n van een toevallige veranderlijke met drie
mogelijke uitkomsten. De waarschijnlijkheid van zowel de eerste als de tweede uitkomst
is gelijk aan p. Na uitvoering van de steekproef blijkt dat de eerste uitkomst z1 keer,
de tweede z2 keer, en de derde z3 keer is opgetreden. Wat is de corresponderende
maximale-likelihoodschatting voor p?
A p̂ML = z1/n
B p̂ML = z1 +z2/2n
C p̂ML = z1 +z2/n
D p̂ML = z1 !z2 !/n!
136
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
299 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y wordt gegeven
door
(
p
α als 21 ≤ x2 + y2 ≤ 1 en x > 0
fX,Y (x, y) =
0 elders,
waarbij α de normalisatieconstante
is. De toevallige veranderlijken R en V worden
√
gedefinieerd als R = X 2 +Y 2 en V = Y /X. Welke van de onderstaande uitspraken is
de correcte?
r
als
A fR,V (r, v) = α √1+v
2
1
2
≤ r ≤ 1 en v ∈ R.
B α = 38 π.
r
C fR,V (r, v) = α 1+v
2 als
1
2
≤ r ≤ 1 en v ∈ R.
D X en Y zijn onafhankelijk.
300 Bij het kopen van een zak chips van het merk Ways© krijg je een flippo. Veronderstel
dat er n verschillende soorten flippo’s zijn. Noem Xk de toevallige veranderlijke dat het
aantal zakken Ways© voorstelt dat je moet kopen totdat je de volgende nieuwe soort
flippo hebt (de zak waarin deze flippo zit inbegrepen), als je al k − 1 verschillende
soorten flippo’s verzameld hebt. Veronderstel dat elke soort flippo’s even vaak voorkomt
en dat de soorten flippo’s willekeurig verdeeld zijn over de zakken chips. Wat is E(Xk )?
Hint: ga ervan uit dat k > 1.
A
k−1
n−k+1
B
n
n−k+1
C
n−k+1
k−1
D
n
k−1
301 We halen op lukrake manier ballen uit een urne met twee rode en twee blauwe ballen,
en een groene bal, zonder terugplaatsing. Noem Rk de gebeurtenis dat de k-de getrokken
bal rood is, en analoog voor Bk en Gk (respectievelijk voor blauw en groen). Welke van
de volgende uitspraken is dan waar?
A P(R3 |B1 ∪ G1 ) < P(R1 |B3 ∪ G3 ).
B P(R1 |B3 ∪ G3 ) = 12 .
C P(R3 |B1 ∪ G1 ) > P(R1 |B3 ∪ G3 ).
D P(R3 |B1 ∪ G1 ) = 13 .
137
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
302 De klanten die binnenkomen in de winkel van Nathalie volgen een Poisson-proces
met een tempo van vijf per uur. De toevallige veranderlijke N is het aantal klanten dat
binnenkomt gedurende de laatste twee uur voor sluitingstijd. Elk van die klanten k koopt
Xk artikelen, voor k = 1, . . . , N. Van de toevallige veranderlijken Xk is enkel geweten
dat var(Xk ) = 3 en E(Xk2 ) = 7. Wat is dan de verwachtingswaarde van het totale aantal
artikelen AN = ∑Nk=1 Xk dat wordt gekocht in die laatste twee uur?
Hint: Vind eerst de verwachtingswaarde E(An ) voor vaste N = n > 0, en pas dan de wet
van totale waarschijnlijkheid voor verwachtingswaarden toe. Let wel, voor N = n = 0
zijn er geen klanten, en dus ook geen verkochte artikelen: A0 = 0.
A 40
B 10
C 30
D 35
E geen van de bovenstaande
303 X en Y zijn twee gezamenlijk normaal verdeelde toevallige veranderlijken die ongecorreleerd zijn en als parameters µX = 0, µY = 2 en σX2 = 1, σY2 = 4 hebben. De
correlatiecoefficient ρ(Z, T ) van de toevallige veranderlijken Z = X +Y en T = X −Y
is dan gegeven door:
A −3/25
B −3/5
C −1/3
D 1/3
304 Een toevallige veranderlijke X heeft verwachtingswaarde E(X) > 10 en variantie
9
var(X) < 10
. Welke uitspraak volgt dan uit de Chebyshev-ongelijkheid?
A P(−1 < X − E(X) < 1) ≥ 1 − var(X).
B P(−1 < X − E(X) < 1) ≤ 1 − var(X).
C P(−1 < X − E(X) < 1) ≥ var(X).
D P(−1 < X − E(X) < 1) ≤ var(X).
E P(−1 < X − E(X) < 1) = 1.
138
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
305 Een astronoom geeft een waarschijnlijkheid van 1% dat er leven is elders in het heelal.
De interpretatie van deze waarschijnlijkheid is:
A klassiek
B frequentistisch
C subjectivistisch
306 X en Y zijn twee gezamenlijk normaal verdeelde toevallige veranderlijken met verwachtingswaarden E(X) = E(Y ) = 1, varianties var(X) = 4 en var(Y ) = 1, en correlatiecoëfficiënt ρ(X,Y ) = −1/2. Voor de veranderlijken U = X +Y and V = X −Y is de
correlatie ρ(U,V ) dan gegeven door:
√
A 2/ 11
p
B 7/3
p
C 3/7
√
21
D −1/
307 We beschouwen de maximale-likelihoodschatter M̂ML (X1 , . . . , Xn ) van de gemiddelde
waarde van een toevallige steekproef uit een normale verdeling. Welke van de onderstaande uitspraken is onwaar?
A M̂ML is consistent.
B M̂ML equivariant.
C M̂ML is onvertekend.
D Ten minste een van de bovenstaande uitspraken is onwaar.
308 We beschouwen een urne met een rode en drie witte ballen, en we halen op toevallige
wijze drie ballen uit de urne, zonder terugplaatsing. Noem Rk de gebeurtenis dat de k-de
bal rood is en Wk de gebeurtenis dat de k-de bal wit is, voor k = 1, 2, 3. P(W3 |R1 ∪ R2 )
is de waarschijnlijkheid dat de derde bal wit is als je weet dat bij de eerste en tweede
trekkingen ten minste één rode bal verschijnt.
Welke van de volgende uitspraken is correct?
A P(W3 |R1 ∪ R2 ) > P(R3 |W1 ∩W2 ) > P(W1 )
B P(R3 |W1 ∩W2 ) > P(W3 |R1 ∪ R2 ) > P(W1 )
C P(W3 |R1 ∪ R2 ) > P(W1 ) > P(R3 |W1 ∩W2 )
D geen van de bovenstaande
139
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
309 Beschouw onafhankelijke, identiek verdeelde en strikt positieve reële toevallige veranderlijken X1 , . . . , X100 , waarbij E(ln(Xi )) = 0 en var(ln(Xi )) = 1.
Wat is de (eventueel benaderde, en op vier beduidende cijfers achter de komma afgeronde) waarschijnlijkheid dat ∏ni=1 Xi strikt groter is dan e100 ?
A 0, 0000
B 0, 1587
C 0, 5000
D 1, 0000
310 Beschouw een toevallige steekproef X1 , X2 , . . . , Xn uit een verdeling f (·|θ ). De steekproefstatistieken A(X1 , X2 , . . . , Xn ) en B(X1 , X2 , . . . , Xn ) zijn zo gekozen dat voor elke
werkelijke waarneming x1 , x2 , . . . , xn , het interval (A(x1 , x2 , . . . , xn ), B(x1 , x2 , . . . , xn ))
een corresponderend betrouwbaarheidsinterval is voor de parameter θ met betrouwbaarheidsdrempel α in [0, 1]. Dan geldt:
A P(A(x1 , x2 , . . . , xn ) ≤ θ ≤ B(x1 , x2 , . . . , xn )) = 1 − α
B P(θ ∈ [A(X1 , X2 , . . . , Xn ), B(X1 , X2 , . . . , Xn )]) = 1 − α
C P(A(X1 , X2 , . . . , Xn ) ≤ θ ≤ B(X1 , X2 , . . . , Xn )) = α
D P(θ ∈ [A(x1 , x2 , . . . , xn ), B(x1 , x2 , . . . , xn )]) = α
311 Een radioactieve bron stoot deeltjes uit volgens een Poisson-proces. Gemiddeld worden
er 10 deeltjes per uur uitgestoten. Als na 1 uur nog geen deeltje is uitgestoten, wat dan
is de waarschijnlijkheid dat een eerste deeltje wordt uitgestoten binnen de eerstvolgende
10 minuten?
A
1−e−10
6
B e−5/3 − e−10
C 1 − e−5/3
D 1 − e−10
140
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
312 Beschouw de toevallige veranderlijke Z = XY die het product is van twee onafhankelijke
veranderlijken X en Y die beide Bernoulli-verdeeld zijn met parameter p. Waaraan is de
Fisher-informatie In (p) voor de verdeling van de toevallige veranderlijke Z dan gelijk?
Zoals steeds geldt dat q := 1 − p.
A
n
p2 q2
B
n
p2 (1−p2 )
C
n
pq
D
4n
1−p2
313 Beschouw twee natuurlijke getallen k en `, en de corresponderende deelverzamelingen
Nk en N` van N die bestaan uit de veelvouden van k, respectievelijk `. We beschouwen
0 niet als een natuurlijk getal, dus 0 ∈
/ N. Als je weet dat Nk en N` logisch onafhankelijk
zijn, dan is welke van de volgende uitspraken zeker waar?
A k is een veelvoud van ` of ` is een veelvoud van k.
B k en ` hebben geen gemene delers, behalve 1.
C k is geen veelvoud van ` noch is ` een veelvoud van k.
D Geen van de bovenstaande.
314 Beschouw de volgende steekproef (x1 , . . . , x6 ) uit een normale verdeling (lengte in cm
van mannen):
i
xi
xi2
1
196
38416
2
180
32400
3
179
32041
4
185
34225
5
170
28900
6
190
36100
Rijsom
1100
202082
Het overeenkomstige eenzijdige 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de variantie is:
(reële getallen afgerond naar de dichtstbijzijnde cm2 )
A [0, 252)
B [0, 363)
C [0, 38)
D [−126, 126]
141
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
315 De distributiefunctie FX van een reële toevallige veranderlijke X is linkscontinu. Welke
van de volgende uitspraken kan dan fout zijn, met a, b, z ∈ R en a < b?
A P(X = z) = 0.
B P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b).
C P(X ≥ z) = 1 − F(z− ).
D exact twee van de bovenstaande uitspraken zijn juist.
316 De MATLAB-workspace bevat een rijvector X. In het commandoscherm typen we
achtereenvolgens (lijn per lijn)
n = length ( X );
x = unique ( X ); # unieke waarden van X in stijgende volgorde
nx = hist (X , x );
fx = nx / n ;
Welke code levert dan de steekproefvariantie van de waarden in X?
A (sum(x.^2.*fx) - sum(x.*fx)^2)*n/(n-1)
B sum(x.^2.*fx) - sum(x.*fx)^2
C sum(x^2.*fx) - sum(x.*fx)^2
D (sum(x^2.*fx) - sum(x.*fx)^2)*n/(n-1)
317 Jane Bond speelt roulette in het casino van Knokke. Het wiel heeft 18 rode vakjes, 18
zwarte vakjes en 1 groen vakje. Het wiel is net gekeurd door de kansspelencommissie,
dus je mag veronderstellen dat elk vakje even waarschijnlijk is. Jane speelt altijd zwart.
Wat is bij beste benadering (dus niet exact) de waarschijnlijkheid dat ze bij strikt meer
dan de helft van een reeks van 100 spelletjes winst heeft?
A 0, 35554
B 0, 35569
C 0, 39344
D 0, 39358
142
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
318 Quique vindt 3 van de 25 vragen van dit examen moeilijk. Als hij een vraag moeilijk
vindt, dan is de waarschijnlijkheid dat hij die vraag correct oplost gelijk aan 1/2. Als
hij een vraag niet moeilijk vindt, dan lost hij ze altijd correct op. Als je over een
willekeurige vraag in dit examen weet dat Quique ze correct heeft opgelost, wat is dan
de waarschijnlijkheid dat hij die vraag moeilijk vond?
A 3/47
B 3/22
C 3/25
D 3/50
E geen van de bovenstaande
319 De continue toevallige veranderlijke Y neemt waarden aan in [0, 1] en heeft daar densiteit
fY (y) = 2y. De conditionele densiteit fX|Y (·|y) van de continue toevallige veranderlijke
X is gegeven door:

2 x + y
als x, y ∈ [0, 1]
1 + 2y
fX|Y (x|y) =
0
anders.
dan is de marginale densiteit fX van X op [0, 1] gegeven door:
A fX (x) = 2x
B fX (x) = 2x + (1 − 2x) 13
C fX (x) = 2x + (1 − 2x) ln23
D fX (x) = 2x + (1 − 2x) ln 3
320 Beschouw in de steekproefruimte S drie gebeurtenissen A, B en C, waarover het
volgende geweten is: A en B zijn onafhankelijk, 0 < P(A) < 1, 0 < P(B) < 1, 0 <
P(C) < 1, 0 < P(Ac |C) < 1 en 0 < P(A|Cc ) < 1. Welke van de volgende uitspraken is
fout?
A Ac en Bc zijn zeker onafhankelijk.
B P(A|S ) = P(A)
C A en S zijn zeker onafhankelijk.
D A en C zijn zeker logisch onafhankelijk.
143
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
321 Voor twee continue toevallige veranderlijken X en Y is de conditionele densiteit
fY |X (v|u) gelijk aan nul wanneer v ≤ 0 of v > u. Wanneer 0 < v ≤ u dan wordt fY |X (v|u)
gegeven door onderstaande figuur.
fY |X (v|u)
1
u
1
De densiteit fX (u) wordt gegeven door
(
fX (u) =
2
1−u
0
als u ∈ (0, 1)
elders.
Welke uitspraak is correct?
A fY |X (v|u) is niet juist genormeerd.
B fY (v) = 2v als 0 < v < 1.
C fY (v) = 2(1 − v) als 0 < v < 1.
D f(X,Y ) (u, v) = 2 als 0 < u < 1.
322 Beschouw de maximale-likelihoodschatters B̂0,ML en B̂1,ML voor de coëfficiënten β0 en
β1 van de best passende rechte voor datapunten (xk ,Yk ), k = 1, . . . , n, bij enkelvoudige
lineaire regressie overeenkomstig met de kleinstekwadratenmethode. Hierin is σ 2 > 0
de constante variantie van de onafhankelijke, normaal verdeelde, en nulvertekende meetfouten. Veronderstel dat B̂0,ML en B̂1,ML ongecorreleerd zijn. Welke van de volgende
uitspraken is dan waar?
A B̂0,ML en B̂1,ML zijn afhankelijk.
B B̂0,ML + B̂1,ML is normaal verdeeld.
C B̂1,ML is geen consistente schatter.
D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar.
144
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
323 Er wordt een steekproef met grootte n = 100 genomen uit een toevallige veranderlijke
die Poisson-verdeeld is met parameter λ . Het steekproefgemiddelde xn is gelijk aan 2.
Welke van de volgende intervallen geeft dan een (benaderend en tweezijdig) 95%
betrouwbaarheidsinterval voor λ ?
A ≈ (1, 61; 2, 39)
B ≈ (1, 72; 2, 28)
C ≈ (1, 77; 2, 23)
D ≈ (1, 96; 2, 04)
324 De toevallige veranderlijke X heeft een χ 2 -verdeling met parameter ν en de toevallige
veranderlijke Y is geometrisch verdeeld met parameter 0 < p < 1. Zowel de verwachtingswaarden als de varianties van beide veranderlijken zijn aan elkaar gelijk: µX = µY
en σX2 = σY2 .
Welke van de volgende uitspraken is correct?
A ν = 1 en p = 1/2.
B ν = 2 en p = 1/3.
C ν = 3 en p = 1/3.
D Er zijn onvoldoende gegevens om deze vraag te kunnen beantwoorden.
325 Aan zeven studenten die de opleiding burgerlijk ingenieur aan de Universiteit Gent
hebben gevolgd, werd gevraagd deze opleiding te beoordelen met een heeltallige
score van nul tot tien. De resultaten van deze kleine enquête zijn weergegeven in het
onderstaande kader-met-staafdiagram.
0
4
9
5
6
Welke van de onderstaande uitspraken is niet correct?
A Exact twee van de studenten gaven 5 als score.
B Ten minste een van de studenten gaf 6 als score.
C Exact een van de studenten gaf 10 als score.
D Drie van de studenten gaven een score hoger dan 8.
145
10
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
326 Gegeven de volgende grafiek met de meetpunten (xi , yi ) voor i ∈ {1, . . . , 6}, de lineaire
regressielijn y = β0 + β1 x en de verdelingen van de fouten εi . Aan welke basisveronderstelling over de toevallige veranderlijken εi die vereist is voor lineaire regressie is zeker
niet voldaan?
y
fY |X (y|x)
y = β0 + β1 x
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x
A normaliteit
B equivariantie
C nulvertekening
D homoscedastisciteit
327 Zes vrienden, bestaande uit drie meisjes en drie jongens, spelen een spel en worden
daarvoor opgedeeld in twee groepen van drie personen. Wat is de waarschijnlijkheid
dat de beide geslachten in elk van de groepen vertegenwoordigd zijn?
A
4
5
B
9
10
C
19
20
D geen van de bovenstaande
146
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
328 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y wordt gegeven
door:
(
α als 41 ≤ x2 + y2 ≤ 1
fX,Y (x, y) =
0 elders,
waarbij α een normalisatieconstante is.
Welke van de onderstaande uitspraken is correct?
A α=
16
15π .
B P(X > Y 2 ) ≥ 21 .
C X en Y zijn onafhankelijk.
D P(XY > 0) = 21 .
329 Beschouw de volgende Matlab-functie:
function E = doeIets (n ,p , f )
% deze functie doet iets
% invoer :
% n is een natuurlijk getal
% p is een reeel getal tussen 0 en 1
% f is een 2 bij 1 reele ( kolom ) vector
s = sum ( rand (n ,1) > p )/ n ;
E = [1 -s , s ]* f ;
end
We voeren het volgende stukje code uit
n = 500;
f = [5; -1];
E = doeIets (n ,0.7 , f )
Op deze manier is E een functie van n. Als we n groter en groter maken—maar niet zo
groot dat er zich numerieke fouten voordoen—dan verwachten we dat de waarde voor E
dichter bij welke van de volgende getallen zal komen te liggen?
A ≈0
B ≈ 0, 8
C ≈ 3, 2
D gaat naar +∞
147
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
330 Beschouw een toevallige steekproef X1 , X2 , . . . , Xn van grootte n > 1 uit een normale
verdeling met parameters µ en σ 2 < 1, het corresponderende steekproefgemiddelde X n
en de corresponderende steekproefvariantie Sn2 .
Hoeveel van de volgende uitspraken zijn dan waar?
– Sn2 is een onvertekende schatter;
– Sn2 is χ 2 -verdeeld met n − 1 vrijheidsgraden;
– Sn2 is een asymptotisch meest efficiënte schatter;
p
– Sn2 is de maximale likelihoodschatter voor de standaardafwijking σ ;
– Sn2 is een consistente schatter (of beter: schattingsmethode);
– Sn2 en X n zijn ongecorreleerd, maar niet noodzakelijk onafhankelijk.
A 3
B 6
C 5
D 4
E 2
331 Een student van het vak Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek is vergeten bij het
opstellen van het onderstaande kader-met-staafdiagram het steekproefgemiddelde xn te
berekenen.
0
6
1
8
10
Een medestudent wil hem het steekproefgemiddelde niet verklappen, maar herinnert
hem eraan dat de steekproef uit n ≤ 5 experimenten bestond.
Welke van de onderstaande uitspraken over het steekproefgemiddelde xn is correct?
A xn = 5.
B xn = 6.
C xn = 7.
D Er zijn onvoldoende gegevens beschikbaar om xn te bepalen.
148
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
332 X1 , X2 en X3 zijn onafhankelijke continue toevallige veranderlijken die elk uniform
verdeeld zijn over [0, 1].
Wat is P(X1 < min{X2 , X3 }), de waarschijnlijkheid dat X1 strikt kleiner is dan zowel X2
als X3 ?
A
1
3
B
1
4
C
1
6
D
1
24
333 In een urne zitten vier geldstukken, waarvan er twee fair zijn, en de andere twee
kruiszijden hebben. Dina haalt op lukrake wijze twee geldstukken uit de urne, en doet
ze in een zakje. Sago haalt op lukrake wijze een geldstuk uit het zakje en tost ermee.
Het resultaat is kruis. Wat is de waarschijnlijkheid dat de munt die Sago uit het zakje
haalde fair was?
A
1
3
B
1
2
C
2
3
D
1
4
334 Beschouw twee gebeurtenissen A en B en een waarschijnlijkheidsmaat P waarvoor geldt
dat P(A|B) = P(B|A) en P(A ∩ B) > 0. Welke van de volgende uitspraken is waar?
A P(A) =
P(A∪B)+P(A∩B)
.
2
B P(A ∩ B) 6=
C P(A) 6=
P(A∪B)P(A|B)
2−P(A|B) .
P(A∪B)
2−P(A|B) .
D P(A) 6= P(B).
149
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
335 De gemeenschappelijke densiteit fX,Y van de toevallige veranderlijken X en Y wordt
gegeven door:
(
ex+y als x, y < 0,
fX,Y (x, y) =
0
elders.
De toevallige veranderlijken U en V worden gedefinieerd als:
(
U := 2X+Y ,
V := X −Y.
Wat is de gemeenschappelijke densiteit fU,V van U en V ?
A
(
fU,V (u, v) =
B
C
als u ∈ (0, 1) en v ∈ (ln u/ln 2, −ln u/ln 2)
elders
0
(
fU,V (u, v) =
1−ln 2
1
ln 2
2 ln 2 u
1−ln 2
1
2 ln 2
2 ln 2 u
als u ∈ (0, 1) en v ∈ (ln u/ln 2, −ln u/ln 2)
elders
0
(√
u
fU,V (u, v) =
0
D
(
fU,V (u, v) =
als u ∈ (0, 1) en v ∈ (−u, u)
elders
1−ln 2
1
2 ln 2
2 ln 2 u
0
E geen van de bovenstaande
150
als u ∈ (0, 1) en v ∈ (−u, u)
elders
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
336 We nemen een steekproef van grootte n uit een binomiale verdeling met parameters
N (aantal experimenten) en p (waarschijnlijkheid op succes). Welke van de volgende
uitspraken is waar?
A De maximale-likelihoodschatter voor p is gegeven door
q
.
fout erop is p(1−p)
n
B De maximale-likelihoodschatter voor p is gegeven door
q
fout erop is p(1−p)
nN .
C De maximale-likelihoodschatter voor p is gegeven door
q
fout erop is p(1−p)
nN .
D De maximale-likelihoodschatter voor p is gegeven door
q
.
fout erop is p(1−p)
n
∑nk=1 Xk
n
en de standaard-
∑nk=1 Xk
n
en de standaard-
∑nk=1 Xk
nN
en de standaard-
∑nk=1 Xk
nN
en de standaard-
337 Beschouw de volgende waarschijnlijkheidsboom:
1/4
p
1
p
1
2
3
2
1/4
3
p
p
4
1
1/4
2
p
3
p
p
4
1
4
1/4
2
3
p
p
4
1
1/4
2
3
p
4
Merk op dat enkele conditionele waarschijnlijkheden ontbreken; enkele ervan hebben
de onbekende waarde p. Verder zijn die situaties die aanleiding geven tot winst op
de boom omcirkeld. Wat is de verzameling met alle mogelijke waarden voor de waarschijnlijkheid van ‘Winst’ die niet in tegenspraak zijn met de gegeven conditionele
waarschijnlijkheden?
A {3/8}
B [0, 3/4]
C [3/16, 3/4]
D geen van de bovenstaande
151
WenS oude examenvragen
2008 – 2009 tot en met 2014 – 2015
338 Een toevallige veranderlijke X heeft een Poisson-verdeling met parameter λ . Van de
afwijking ε := |X − λ | tussen X en haar parameter λ weten we dat P(ε < 2) ≤ 13 .
Geef de ruimste begrenzing op de parameter λ die volgt uit de bovenstaande ongelijkheid en de Chebyshev-ongelijkheid.
A λ ≥ 43 .
B λ ≥ 83 .
C λ ≥ 13 .
D Je kan met deze ongelijkheden geen begrenzing vinden op λ .
152