Lineaire Algebra – Een Samenvatting

Lineaire Algebra – Een Samenvatting
Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en
multiplicatieve operatie, zodat
(a) u ∈ V en v ∈ V ⇒ u + v ∈ V ,
(1) u + v = v + u voor alle u ∈ V en v ∈ V ,
(2) u + (v + w) = (u + v) + w voor alle u ∈ V , v ∈ V en w ∈ V ,
(3) er bestaat 0 ∈ V , zodat u + 0 = u voor alle u ∈ V ,
(4) voor alle u ∈ V bestaat −u ∈ V , zodat u + (−u) = 0,
(b) u ∈ V en c ∈ R ⇒ cu ∈ V ,
(5) c(u + v) = cu + cv voor alle u ∈ V , v ∈ V en c ∈ R,
(6) (c + d)u = cu + du voor alle u ∈ V , c ∈ R en d ∈ R,
(7) c(du) = (cd)u voor alle u ∈ V , c ∈ R en d ∈ R,
(8) 1u = u voor alle u ∈ V .
Definitie: Zij V een vectorruimte en W ⊂ V . W is een deelruimte van V als W een
vectorruimte is m.b.t. de operaties in V .
Stelling: Zij V een vectorruimte en W ⊂ V met W niet leeg. Als
(a) u ∈ W en v ∈ W ⇒ u + v ∈ W ,
(b) u ∈ W en c ∈ R ⇒ cu ∈ W ,
dan is W een deelruimte van V .
Definitie: Zij V een vectorruimte en v1 , v2 , . . . , vn ∈ V . Een vector v is een lineaire combinatie van v1 , v2 , . . . , vn als
v = a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn
voor zekere a1 , a2 , . . . , an ∈ R.
Definitie: Zij V een vectorruimte, v1 , v2 , . . . , vn ∈ V en S = {v1 , v2 , . . . , vn }, dan is span S
het opspansel van S, d.w.z.
span S = {a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn | a1 , a2 , . . . , an ∈ R}.
1
Definitie: Zij V een vectorruimte en v1 , v2 , . . . , vn ∈ V . De vectoren v1 , v2 , . . . , vn zijn lineair
onafhankelijk als
a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . = an = 0.
Stelling: Zij V een vectorruimte en S en T eindige deelverzamelingen van V met S ⊂ T , dan
geldt
T is lineair onafhankelijk ⇒ S is lineair onafhankelijk.
Definitie: Zij V een vectorruimte. Een basis van V is een verzameling {v1 , v2 , . . . , vn } met
v1 , v2 , . . . , vn ∈ V , zodat
(a) V = span{v1 , v2 , . . . , vn },
(b) v1 , v2 , . . . , vn zijn lineair onafhankelijk.
Stelling: Zij V een vectorruimte en S een basis van V , dan kan iedere vector v in V geschreven
worden als een unieke lineaire combinatie van vectoren in S.
Nota Bene: We beschouwen louter vectorruimten V die een basis hebben, of V = {0}.
Stelling: Zij V een vectorruimte en S een eindige deelverzameling van V met span S = V ,
dan is een zekere deelverzameling van S een basis van V .
Stelling: Zij V een vectorruimte. Als {v1 , v2 , . . . , vn } en {w1 , w2 , . . . , wm } bases van V zijn,
dan geldt n = m.
Definitie: Zij V een vectorruimte met V 6= {0}, dan is de dimensie van V met notatie dim V
het aantal vectoren van een basis van V . We definiëren dim {0} = 0.
Definitie: Zij V een vectorruimte en S = {v1 , v2 , . . . , vn } een geordende basis van V . Zij
v ∈ V , dan is


a1
 a2 


[v]S =  . 
 .. 
an
met v = a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn de coördinaatvector van v m.b.t. de geordende basis S.
De elementen van [v]S zijn de coördinaten van v m.b.t. de geordende basis S.
Definitie: Een m × n-matrix A
n kolommen, d.w.z.

a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n

A= .
..
..
 ..
.
.
is een rechthoekige ordening van reële getallen in m rijen en



.

am1 am2 . . . amn
2
Voor j = 1, 2, . . . , n is de j-de kolom van A gelijk aan


a1j
 a2j 


aj =  .  .
 .. 
amj
Stelling: De verzameling van m × n-matrices voorzien van een additieve en multiplicatieve
operatie

 

b11 b12 . . . b1n
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b2n 

 

 ..
..
.. 
..
..  +  ..


 .
.
.
. 
.
.
bm1 bm2 . . . bmn
am1 am2 . . . amn



=




c

a11 + b11
a21 + b21
..
.
a12 + b12
a22 + b22
..
.
...
...
a1n + b1n
a2n + b2n
..
.



,

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
 
a11 a12 . . . a1n
ca11 ca12 . . . ca1n


a21 a22 . . . a2n   ca21 ca22 . . . ca2n
..
..
..  =  ..
..
..
.
.
.
.
.   .
am1 am2 . . . amn
cam1 cam2 . . . camn



,

is een vectorruimte. De notatie van deze vectorruimte is Rm×n . Ook noteren we Rm = Rm×1 .
Definitie: Zij A = (aij ) een m × k-matrix en B = (bij ) een k × n-matrix, dan is het matrixproduct AB de m × n-matrix C = (cij ) met elementen
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aik bkj
voor i = 1, 2, . . . , m en j = 1, 2, . . . , n.
Definitie: Zij A =
a1 a2 . . . an
een m × n-matrix, dan is het bereik van A gelijk aan
range A = span {a1 , a2 , . . . , an },
en de rang van A gelijk aan
rank A = dim range A.
Definitie: Zij A een m × n-matrix, dan is de kern van A gelijk aan
ker A = {x ∈ Rn | Ax = 0},
en het defect (de nulliteit) van A gelijk aan
null A = dim ker A.
3
Stelling: Zij A een m × n-matrix, dan geldt
rank A + null A = n.
Definitie: Een n × n-matrix A is inverteerbaar (niet singulier) als
Ax = 0 ⇒ x = 0 voor alle x ∈ Rn .
De inverse matrix A−1 wordt gegeven door
x = A−1 y ⇔ y = Ax.
Definitie: Zij V een vectorruimte met geordende bases S en T , dan wordt de transitiematrix
PS←T van T naar S gegeven door
[v]S = PS←T [v]T voor alle v ∈ V.
Stelling: Zij V een vectorruimte met geordende bases S = {v1 , v2 , . . . , vn } en T = {w1 , w2 , . . . , wn },
dan
PS←T = [w1 ]S [w2 ]S . . . [wn ]S .
De matrix PS←T is inverteerbaar met
−1
= PT ←S .
PS←T
Definitie: Zij V een vectorruimte. Een functie k • k : V → R is een norm op V als
(a) kuk ≥ 0 voor alle u ∈ V ; kuk = 0 ⇒ u = 0,
(b) ku + vk ≤ kuk + kvk voor alle u ∈ V en v ∈ V ,
(c) kcuk = |c|kuk voor alle u ∈ V en c ∈ R.
Een genormeerde vectorruimte is een vectorruimte voorzien van een norm.
Definitie: Zij V een vectorruimte. Een functie (•, •) : V × V → R is een inproduct op V als
(a) (u, u) ≥ 0 voor alle u ∈ V ; (u, u) = 0 ⇒ u = 0,
(b) (v, u) = (u, v) voor alle u ∈ V en v ∈ V ,
(c) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) voor alle u ∈ V , v ∈ V en w ∈ V ,
(d) (cu, v) = c(u, v) voor alle u ∈ V , v ∈ V en c ∈ R.
4
Een inproductruimte is een vectorruimte voorzien van een inproduct.
Stelling: Zij V een inproductruimte, dan geldt de Cauchy-Schwarz ongelijkheid
p
|(u, v)| ≤ (u, u)(v, v) voor alle u ∈ V en v ∈ V.
Stelling: Zij V een inproductruimte en
p
kuk = (u, u) voor alle u ∈ V,
dan is V een genormeerde vectorruimte.
Definitie: Zij V een inproductruimte met een geordende basis S = {v1 , v2 , . . . , vn }, dan wordt
de inproductmatrix A = (aij ) m.b.t. S gegeven door
aij = (vj , vi ) voor i, j = 1, 2, . . . , n.
Definitie: Zij A = (aij ) een m×n-matrix, dan is de getransponeerde matrix de n×m-matrix
AT = (aji ).
Definitie: Een vierkante matrix A is symmetrisch als AT = A.
Stelling: Zij V een inproductruimte met een geordende basis S en A de inproductmatrix
m.b.t. S, dan geldt
(a) A is symmetrisch,
(b) (v, w) = [v]TS A[w]S voor alle v ∈ V en w ∈ V .
Definitie: Zij V een inproductruimte, dan zijn de vectoren u en v in V orthogonaal als
(u, v) = 0.
Definitie: Zij V een inproductruimte met een basis S = {v1 , v2 , . . . , vn }, dan is S orthonormaal als
(uj , ui ) = δij voor i, j = 1, 2, . . . , n.
Stelling: Zij V een inproductruimte met een geordende orthonormale basis S, dan geldt
(u, v) = [u]TS [v]S voor alle u ∈ V en v ∈ V.
Definitie: Zij V een inproductruimte met een basis {u1 , u2 , . . . , un }, dan wordt het gemodificeerde Gram-Schmidt proces gegeven door v1 = u1 /ku1 k en
vk =
uk − (uk , v1 )v1 − (uk , v2 )v2 − . . . − (uk , vk−1 )vk−1
kuk − (uk , v1 )v1 − (uk , v2 )v2 − . . . − (uk , vk−1 )vk−1 k
5
voor k = 2, . . . , n.
Stelling: Zij V een inproductruimte met een basis {u1 , u2 , . . . , un }, dan levert het gemodificeerde Gram-Schmidt proces een orthonormale basis {v1 , v2 , . . . , vn }.
Definitie: Zij V een inproductruimte en W een deelruimte van V . Het orthogonale complement W ⊥ van W wordt gegeven door
u ∈ W ⊥ ⇔ (u, v) = 0 voor alle v ∈ W.
Definitie: Zij V een vectorruimte en W1 en W2 deelruimten van V met W1 ∩ W2 = {0}, dan
wordt de directe som van W1 en W2 gegeven door
W1 ⊕ W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1 en w2 ∈ W2 }.
Stelling: Zij V een inproductruimte en W een deelruimte van V , dan
V = W ⊕ W ⊥.
Stelling: Zij A een m × n-matrix, dan
(a) ker AT = (range A)⊥ ,
(b) range AT = (ker A)⊥ .
Definitie: Zij A ∈ Rm×n en b ∈ Rm , dan is Ax = b met onbekende vector x ∈ Rn een stelsel
lineaire vergelijkingen. Het stelsel is consistent als Ax = b voor zekere vector x ∈ Rn . De
oplossing van het stelsel is de verzameling {x ∈ Rn | Ax = b}.
Stelling: Zij A ∈ Rm×n en b ∈ Rm , dan geldt
Ax = b is consistent ⇔ b ∈ range A.
Definitie: Een matrix is in de gereduceerde rij-echelonvorm als:
(a) Er zijn louter nulrijen onderaan in de matrix.
(b) Het eerste element ongelijk aan 0 van een niet-nulrij heet de spil van de rij.
(c) Alle elementen linksonder een spil zijn gelijk aan 0.
Definitie: Een elementaire rij-operatie van een matrix is een van de volgende operaties:
(a) Verwissel twee rijen.
6
(b) Vermenigvuldig een rij met een getal ongelijk aan 0.
(c) Tel een veelvoud van een rij op bij een andere rij.
Definitie: Een matrix A is rij-equivalent met een matrix B als B m.b.v. elementaire rijoperaties uit A verkregen kan worden.
Stelling: Een m × n-matrix A is rij-equivalent met een matrix B als B = P A voor zekere
inverteerbare m × m-matrix P .
Stelling: Als de matrices A en B rij-equivalent zijn, dan
(a) ker A = ker B,
(b) rank A = rank B.
Stelling: Zij A een matrix in gereduceerde rij-echelonvorm, dan is de rang van A gelijk aan
het aantal spillen.
Definitie: Zij A ∈ Rm×n en b ∈ Rm , dan is het stelsel Ax = b rij-equivalent met het stelsel
Bx = c als de matrix B c rij-equivalent is met A x .
Stelling: Rij-equivalente stelsels lineaire vergelijkingen hebben dezelfde oplossing.
Definitie: Zij S =
elementen van S.
1 2 . . . n , dan is een permutatie van S een herordening van de
Stelling: Zij S = 1 2 . . . n , dan kan iedere permutatie van S uit S verkregen worden
door opeenvolgende verwisselingen van elementen.
Definitie: Zij S = 1 2 . . . n en een permutatie van S verkregen door n opeenvolgende
rijverwisselingen, dan is de permutatie even of oneven als n even resp. oneven is.
Definitie: Zij A = (aij ) een n × n-matrix, dan wordt de determinant van A gegeven door
X
det A =
(±)a1j1 a2j2 . . . anjn ,
waarbij
wordt gesommeerd
over alle permutaties j1 j2 . . . jn van deverzameling
1 2 . . . n . Het teken is + of − als de permutatie j1 j2 . . . jn even resp. oneven
is.
Stelling: Zij A een n × n-matrix, dan
det AT = det A.
Definitie: Een n × n-matrix A = (aij ) is een bovendriehoeksmatrix als
i > j ⇒ aij = 0.
7
Stelling: Zij de n × n-matrix A = (aij ) een bovendriehoeksmatrix, dan
det A = a11 a22 . . . ann .
Stelling: Zij de n×n-matrix A rij-equivalent met een matrix B, waarbij B uit A verkregen kan
worden m.b.v. elementaire rij-operaties zonder rijvermenigvuldigingen en k rijverwisselingen,
dan geldt
det A = (−1)k det B.
Stelling: Zij A een n × n-matrix, dan geldt
A is singulier ⇔ det A = 0.
Definitie: Een n × n-matrix A = (aij ) is een diagionaalmatrix als
i 6= j ⇒ aij = 0.
Stelling: Iedere inverteerbare matrix is rij-equivalent met een diagonaalmatrix met diagonaalelementen ongelijk aan 0.
Stelling Zij A en B n × n-matrices, dan
det (AB) = det A det B.
Stelling: Zij A een inverteerbare matrix, dan
det A−1 =
1
.
det A
Definitie: De Euclidische norm op Rn wordt gegeven door
√
kxk2 = xT x voor alle x ∈ Rn .
b een kleinste-kwadratenoplossing
Definitie: Zij A ∈ Rm×n en b ∈ Rm , dan is de vector x
van het stelsel Ax = b als
kb − Ab
xk2 ≤ kb − Axk2 voor alle x ∈ Rn .
Stelling: Zij A ∈ Rm×n en b ∈ Rm , dan geldt
b is een kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b ⇔ AT Ab
x
x = AT b.
Stelling: Zij A ∈ Rm×n en b ∈ Rm . Als rank A = n, dan is AT A inverteerbaar en heeft
Ax = b een unieke kleinste-kwadratenoplossing
b = (AT A)−1 AT b.
x
8
Definitie: Zij A een n × n-matrix, dan is het getal λ een eigenwaarde van A behorende bij
een eigenvector x met x 6= 0 als
Ax = λx.
Definitie: Een identiteitsmatrix is een n × n-matrix I = (δij ).
Definitie: Zij A een n×n-matrix, dan wordt het karakterisktieke polynoom van A gegeven
door
p(λ) = det (λI − A) voor alle λ ∈ R.
Stelling: Zij A een n × n-matrix, dan zijn de eigenwaarden van A de wortels van het karakteristieke polynoom van A.
Definitie: Zij A en B n × n-matrices, dan is B similair met A als B = P −1 AP voor zekere
inverteerbare n × n-matrix P .
Stelling: Similaire matrices hebben dezelfde eigenwaarden.
Definitie: Een n × n-matrix A is diagonaliseerbaar als A similair is met een diagonaalmatrix.
Stelling: Zij A een n × n-matrix, dan geldt
A is diagonaliseerbaar ⇔ A heeft n lineair onafhankelijke eigenvectoren.
Stelling: Als het karakteristieke polynoom van een n × n-matrix n verschillende wortels heeft,
dan is A diagonaliseerbaar.
Stelling: Een symmetrische n × n-matrix heeft n orthogonale eigenvectoren.
Definitie: Een n × n-matrix is orthogonaal als AT A = I.
Stelling: Zij A een symmetrische matrix, dan is er een diagonaalmatrix D en een orthogonale
matrix P , zo dat
AP = P D.
9