Scheve asymptoten

Scheve asymptoten
INTERMEZZO
Indien de macht in de noemer groter is dan de macht in de teller, dan hebben we een horizontale
asymptoot y = 0.
Indien de macht in de noemer gelijk is aan de macht in de teller, dan hebben we een horizontale
asymptoot. Vul een groot getal in om te kijken wat de asymptoot wordt.
Als een gebroken functie een horizontale asymptoot heeft, dan heeft hij geen scheve asymptoot.
Indien de macht in de teller groter is dan de macht in de noemer, hebben we geen horizontale asymptoot.
Wat hebben we dan?
Indien de macht in de teller één groter is, hebben we een scheve asymptoot.
Voorbeeld:
f(x) 
- x 2  2x  5
heeft een scheve asymptoot.
x7
We voeren een staartdeling uit (dit hoef je niet te kunnen):
x - 7/ - x 2  2x  5 \ x  5 
30
x7
 x2  7x 5x  5
5x  35
-
-30
Dus: f(x)  x  5 
30
x7
30
naar 0 gaat indien x naar oneindig gaat, nadert f de lijn y  x  5 (als x naar oneindig).
x7
Dit is de scheve asymptoot van f.
Omdat
Wat moet je wel kunnen?
De functie f(x)  x  5 
30
- x 2  2x  5
om kunnen schrijven naar f(x) 
.
x7
x7
Opgave1
Gegeven is de functie f(x) 
3x2  25
x7
122
x7
(b)Geef voor zover mogelijk de nulpunten en de asymptoten van f.
(a)Toon aan dat dit dezelfde functie is als: f(x)  3x  21 
Opgave2
Gegeven is de functie f(x) 
x2  9
2-x
4
x2
(b)Geef voor zover mogelijk de nulpunten en de asymptoten van f.
(a)Toon aan dat dit dezelfde functie is als: f(x)  x  2 
Opgave1
De nulpunten: 3x2  25  0
, waarbij x  7
3x2  25
x2 
25
3
25
25
of x  
, ofwel;
3
3
1
1
1
1
x
5 of x  
5 , dus: (
5 ,0) en (
5,0)
3
3
3
3
x
De verticale asymptoot is x  7 .
We voeren een staartdeling uit:
x - 7/3x2  25 \ 3x  21 
122
x7
3x2 - 21x 21x - 25
21x - 147
122
Dus: f(x)  3x  21 
-
122
x7
De lijn y  3x  21 is de scheve asymptoot van f.
Opgave2
De nulpunten: x2  9  0
, waarbij x  2
x2  9
x  3 of x  3 , dus: (3,0) en (3,0)
De verticale asymptoot is x  2 .
- x  2/x2  9 \ x  2 
x2 - 2x
4
x2
-
2x - 9
2x - 4 -5
Dus: f(x)  x  2 
4
x2
De lijn y  x  2 is de scheve asymptoot.