Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek 4

4 Driehoeksmeting in een
rechthoekige
driehoek
Copyright
Copyright
4 Driehoeksmeting in een
rechthoekige driehoek
4.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek
4.1.1
4.1.2
4.1.3
Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Goniometrische getallen en de rekenmachine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Verband tussen goniometrische getallen van een scherpe hoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2Toepassingen
4.2.1 Oplossen van een rechthoekige driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.2 Vraagstukken .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Herhaling: voor wie iets meer wil
.....................................................................
131
Junior Wiskunde Olympiade
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
Copyright
Studiewijzer
Leerdoelen
1
Th
1 De sinus, de cosinus en de tangens van een scherpe blz. 107 hoek van een rechthoekige driehoek definiëren.
109
2 Bovenstaande definities toepassen.
3 Een hoek tekenen als een goniometrisch getal
gegeven is.
5 Bij een gegeven goniometrisch getal de grootte van
de hoek berekenen.
10, 38
blz. 115
8 Het verband tussen de sinus, de cosinus en de
tangens van een scherpe hoek formuleren.
blz. 116
9 Het verband tussen de sinus, de cosinus en de
tangens van een scherpe hoek bewijzen.
3
12
blz. 115
blz. 116
10 Bovenstaande formules gebruiken om goniometrische getallen te berekenen.
11 Hoeken en lengten berekenen in rechthoekige
driehoeken.
12 Vraagstukken oplossen door hoeken en lengten te
berekenen in rechthoekige driehoeken.
4
13 Hoeken en lengten berekenen in ruimtefiguren.
13
14
48
15
16, 17, 18,
21, 22, 30,
32, 33, 42,
44
19, 20, 24,
29, 51, 52
26, 27, 28,
31, 34, 35,
39, 40, 41,
43, 45, 46
25
5
6
104
5, 6, 8, 47,
49
9, 11, 38
6 De hoofdformule van de goniometrie formuleren.
7 De hoofdformule van de goniometrie bewijzen.
7
4
4 Goniometrische getallen van een hoek berekenen
met de rekenmachine.
2
1, 2, 3
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
23, 29, 36,
37, 50
4.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek
1
12%
2
Een boot ligt voor anker. Door de stroming maakt de
ankerketting een hoek van 52° met het wateroppervlak. Het
gedeelte van de ankerketting dat onder water zit, is 12,7 meter
lang.
Hoe diep is het meer?
3
Bij rechthoekige driehoeken is er een verband tussen de scherpe hoeken: ze zijn
complementair. Je hebt er ook een verband gevonden tussen de zijden: het kwadraat van de
schuine zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.
4
Om dit probleem op te lossen, moet je echter ook verbanden kennen tussen de zijden en de
hoeken.
In DABC is A​
​   = 90°.
​[ BC ]​is de schuine zijde. [​ AB ]​en [​ AC ]​zijn rechthoekszijden.
​  en [​ AB ]​de
​[ AC ]​noemen we de overstaande rechthoekszijde van B​

aanliggende rechthoekszijde van ​ B​ .
Je kunt ook de rechthoekszijden benoemen in functie van C​
​  . Dan is [​ AC ]​
de aanliggende rechthoekszijde en ​[ AB ]​de overstaande rechthoekszijde.
B
A
5
C
6
Copyright
4.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek
105
4.1.1 Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek
Sinus van een scherpe hoek
1
Zoekwerk 1
We zoeken een verband tussen de lengte van de zijden en de grootte van een scherpe hoek.
401
2
Voorbeeld 1
Bij elk van de driehoeken is de grootte van een scherpe hoek gegeven en de lengte van de
drie zijden.
Bereken de verhouding van de overstaande rechthoekszijde van de gegeven scherpe hoek
en de schuine zijde op 0,01 nauwkeurig.
E
34°
C
4,78
3
B
A
3,97
Wat stel je vast?
4,11
2,67
34°
|​ AC |​
​  = ​ ____ 
|​ BC |​
M
5,87
4,87
D
3,28
F
40°
L
|​ DF |​
|_____
​ KM |​
_____
​
​
 ​ 
=  ​ 
= |​ EF |​
​| LM |​
4
Voorbeeld 2
Vervolledig de tekening zodat je twee rechthoekige driehoeken krijgt.
Bereken dezelfde verhouding als in het eerste voorbeeld.
5
40°
40°
Wat stel je vast?
6
Verklaar.
106
3,15
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
2,65
K
Rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe
hoek zijn gelijkvormig. (gelijkvormigheidskenmerk HH)
Uit de definitie van gelijkvormige driehoeken volgt
dat overeenkomstige zijden een evenredigheid
vormen.
B
A
Y
α
|​ XY |​ ____
​| YZ |​
____
​ 
 
 
​  = ​ 
​ 
​| AB |​ ​| BC |​
α
1
C
Z
X
We verwisselen de middelste termen.
|​ AB |​
|​ XY |​ ____
____
​ 
​ 
 
 
 
​ = ​ 
​| YZ |​ ​| BC |​
2
Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen:
‘In rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek a is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde van de hoek a en de schuine zijde hetzelfde.’
Deze verhouding is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de
sinus van de scherpe hoek a.
De sinus van de hoek a noteren we sin a.
|​ AB |​
​| XY |​ ____
sin a = ​____ ​ 
​ 
 
= ​ 
|​ YZ |​ ​| BC |​
3
DEFINITIE
De sinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de verhouding
van de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde.
4
C
4,90
|​ AC |​ 3,86
​ = ​____​  = 0,788
In DABC met A​
​   = 90° is sin 52° = ​ ____ 
|​ BC |​ 4,90
B
52°
3,02
3,86
A
5
De sinus van een scherpe hoek drukt een verhouding uit tussen twee lengten en is dus een
reëel getal.
Het vraagstuk van de boot kun je nu oplossen.
Een boot ligt voor anker. Door de stroming maakt de ankerketting
een hoek van 52° met het wateroppervlak. Het gedeelte van de ankerketting dat onder water zit, is 12,7 meter lang.
Hoe diep is het meer?
Copyright
4.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek
6
107
Gegeven:
DABC met A​
​    = 90°

​​ C​ 1​ ​ = 52°
| BC |​ = 12,7 m
​
1
C
52°
1
12,7 m
| AC |​
Gevraagd:​
Oplossing:
B
A
  = 90°:
In DABC met ​ A​
2
C
​| AC |​
  = ​ ____
sin ​ B​
​
 
|​ BC |​
​| AC |​
sin 52° = ​____ ​ 
12,7
52°
1
38°
12,7 m
| AC |​ = 12,7 ∙ sin 52°
​
52°
B
| AC |​ = 10
​
A
Het meer is 10 m diep.
3
Cosinus van een scherpe hoek
Omdat DXYZ gelijkvormig is met DABC,
kunnen we ook nog een andere evenredigheid
afleiden.
|​____
​| YZ |​
 XZ |​ ____
 ​  = ​ 
​ 
 
​
|​ AC |​ ​| BC |​
4
B
A
Y
α
α
Z
We verwisselen de middelste termen.
|____
​| AC |​
​ XZ |​ ____
​
​
 
 ​  = ​ 
​| YZ |​ ​| BC |​
X
Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen:
‘In rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek a is de verhouding van de
aanliggende rechthoekszijde van de hoek a en de schuine zijde hetzelfde.’
5
Deze verhouding is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de
cosinus van de scherpe hoek a.
De cosinus van de hoek a noteren we cos a.
​| XZ |​ ​| AC |​
cos a = ​_____ ​  = ​ ____ 
​
|​ YZ |​ ​| BC |​
DEFINITIE
6
De cosinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde.
108
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
C
​| AB |​ 3,02
​  = ​____ 
​ = 0,616
In DABC met A​
​   = 90° is cos 52° = ​ ____ 
|​ BC |​ 4,90
C
4,90
De cosinus van een scherpe hoek drukt een verhouding uit tussen
twee lengten en is dus een reëel getal.
B
Tangens van een scherpe hoek
52°
3,02
A
B
Uit de gelijkvormigheid van DXYZ en DABC
kan nog een andere evenredigheid afgeleid worden.
 XZ |​
​| XY |​ ​|_____
 ​ 
​ ____ 
​  = ​
A
Y
|​ AB |​ ​| AC |​
α
We verwisselen de middelste termen.
|​ XY |​ |​ AB |​
​ _____ ​  = ​ ____ 
​ 
|​ XZ |​ |​ AC |​
1
3,86
2
α
C
Z
X
Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen:
‘In rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek a is de verhouding van de
overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde van de hoek a hetzelfde.’
3
Deze verhouding is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de
tangens van de scherpe hoek a.
De tangens van de hoek a noteren we tan a.
|​ AB |​
|​ XY |​ ____
tan a = ​ _____ 
​ 
 
​  = ​ 
|​ XZ |​ |​ AC |​
4
DEFINITIE
De tangens van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde.
|​ AC |​ ____
3,86
= ​ ​  = 1,278
In DABC met A​
​   = 90° is tan 52° = ​____ ​ 
|​ AB |​ 3,02
C
5
4,90
De tangens van een scherpe hoek drukt een verhouding uit tussen
twee lengten en is dus een reëel getal.
B
52°
3,02
3,86
A
Goniometrische getallen
6
De sinus, de cosinus en de tangens van een scherpe hoek noemen we goniometrische
getallen van die hoek.
In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde steeds de langste zijde.
Bijgevolg liggen de sinus en de cosinus van een scherpe hoek steeds tussen 0 en 1.
De tangens van een scherpe hoek is groter dan 0.
Copyright
4.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek
109
Een geheugensteuntje van ‘alle tijden’!!
Een schip is aan het zinken en de kapitein kan nog net het volgende bericht verzenden:
1
‘sos castoa’
sinus cosinus tangens
2
Opdrachten
1
3
2
4
5
3
Schrijf met behulp van ​| XY |​, |​  YZ |​en ​| XZ |​.
a
sin ​
Y ​  = d
  = sin ​ Z​
b
cos ​
Y ​  = e
  = cos ​ Z​
c
tan ​
Y ​  = f
  = tan ​ Z​
Vul in met sin, cos of tan.
​| RT |​
​ = a _____
​ 
 
 
R​
​   
|​ RQ |​
Y
X
|​ RT |​
​ = d _____
​ 
 
 
|​ TQ |​
​   
Q​
b
|​ RT |​
_____
​  =  
​ 
 
​ Q​
e
|_____
​ TQ |​
 ​  = ​
​| RQ |​
R​
​   
c
|_____
​ TQ |​
​
 ​ 
= ​| RT |​
R​
​   
f
|​_____
 TQ |​
 ​  = ​
​| RQ |​
Q​
​   
​| RQ |​
Z
Q
R
T
Doorstreep de onjuiste antwoorden.
|​ AB |​
  = ​ ____
​ 
tan ​ C​
 
|​ BC |​
 ED |​
  = ​​|_____
tan ​ C​
 ​ 
|​ EC |​
A
E
|​ AD |​
|​ ED |​
  = ​ _____
  = ​ _____
​
tan ​ C​
​
tan ​ C​
 
 
 
|​ CD |​
​| CD |​
6
C
110
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
D
B
4
Teken een scherpe hoek a zodat
a
sin a = ​3_ ​
7
b
cos a = ​2_ ​
3
c
12 ​  
tan a = ​__
5
1
2
3
4
5
De sinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek
is altijd kleiner dan de tangens van deze hoek. Verklaar.
C
B
A
5
6
Copyright
4.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek
111
6
1
7
2
3
8
4
Verbind wat bij elkaar hoort.
B
1
|​ AB |​
•
• a
25 ∙ sin 40°
2
​| DC |​
•
• b
25 ∙ cos 40°
3
​| AD |​
•
• c
4
​| BC |​
•
• d
A
25  ​ 
​ ______
sin 40°
25  ​ 
​ _______
tan 40°
Waar of niet waar? Verklaar.
a
sin a is een hoek.
b
cos b is een getal.
c
Er bestaat een hoek a zo dat tan a > 0.
d
Er bestaat een hoek a zo dat cos a < −1.
40° 25m
D
In een rechthoekige DABC met [​  AH ]​de hoogte op de schuine zijde
2
is ​​| AC |​ ​ = ​| BC |​ ∙ ​| HC |​.
Bewijs de eigenschap van een rechthoekszijde met goniometrie.
5
6
8
112
Copyright
Definieer cos a in twee verschillende driehoeken.
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
C
4.1.2 Goniometrische getallen met de rekenmachine
Met een rekenmachine is het mogelijk om goniometrische getallen van een hoek nauwkeurig
te bepalen.
De grootte van een hoek kan uitgedrukt worden in verschillende eenheden.
De graad en de radiaal zijn de meest gebruikte eenheden.
In dit boek gebruiken we de graad.
1
•Je rekenmachine met graden laten werken
Druk op MODE , plaats de cursor op DEGREE.
Druk op ENTER .
2
Druk op CLEAR en je krijgt een leeg scherm.
•Van hoek naar goniometrisch getal
Voorbeelden
3
We berekenen cos 62,15°.
Druk op COS , voer 62,15 in en druk op ENTER .
cos 62,15° = 0,467 158 405 2
We berekenen sin 30°.
Druk op SIN , voer 30 in en druk op ENTER .
sin 30° = 0,5
4
•Van goniometrisch getal naar hoek
Voorbeeld
5
We zoeken A​
​  als tan A​
​   = 1,673 78.
Druk op 2ND TAN , voer 1,673 78 in en druk op
ENTER .
A​
​   = 59,143 790 42°
•Het kwadraat van een goniometrisch getal berekenen
Voorbeeld
6
We berekenen het kwadraat van cos 65°.
We noteren: co​s2​ ​ 65°
Voer cos 65° in, druk op x2 en op ENTER .
co​s2​ ​ 65° = 0,178 606 195 2
Copyright
4.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek
113
Opdrachten
9
1
10
2
11
3
12
Het is een goede gewoonte
om bij het invoeren van
bijvoorbeeld sin 32° je invoer
af te sluiten met een haakje.
Het moet als je bijvoorbeeld
si​n2​ ​ 32° wil berekenen.
Bereken op 0,001 nauwkeurig.
a
sin 34° = dcos 85° = b
cos 25,5° = etan 45° = c
tan 82,75° = fsin 1,5° = Bereken de hoek a op 0,01° nauwkeurig.
a
sin a = 0,111
Þ a = d sin a = 0,435 Þ a = b
tan a = 15,325 Þ a = e tan a = 1 Þ a = c
cos a = 0,75 Þ a = f cos a = 0,001 Þ a = Bereken op 0,001 nauwkeurig.
a
si​n2​ ​ 24° = dco​s​2​ 15° = b
co​s2​ ​ 65,5° = eta​n​2​ 45° = c
ta​n2​ ​ 22,75° = f
si​n​2​ 13,5° = Verklaar: AB // CD
B
82
4
A
41
E
60°
C
5
6
114
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
D
4.1.3 Verband tussen goniometrische getallen van een scherpe hoek
Zoekwerk 2
We zoeken een verband tussen si​n2​ ​ a en co​s2​ ​ a.
54,2°
Voorbeeld 1
  = 90° en ​ B​
  = 54,2°
DABC met ​ A​
402
1
B
Bereken: si​n2​ ​ 54,2° + co​s​2​ 54,2° = Herhaal dit voor C​
​  .
Wat stel je vast?
A
C
2
Voorbeeld 2
Kies de grootte van een scherpe hoek a.
Bereken si​n​2​ a + co​s​2​ a.
Kom je tot hetzelfde besluit?
3
EIGENSCHAP
In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek a geldt:
si​n2​ ​ a + co​s​2​ a = 1
Hoofdformule van de goniometrie
B
We bewijzen deze eigenschap.
Gegeven:
  = 90°
DABC met ​ A​
scherpe hoek a
Te bewijzen:
si​n​2​ a + co​s​2​ a = 1
4
α
c
a
A
b
C
Bewijs:
In DABC met A​
​   = 90°:
(  ) (  )
2
2
si​n​2​ a + co​s​2​ a = ​​ _​ ab ​  ​ ​ + ​​ _a​  c ​  ​ ​
c​ ​ ​ ​
​b​ ​ ​ + ​ __
= ​ __
​a2​ ​ ​a2​ ​
c​2 
​ 
b​ 2​ ​ + ​ ​
= ​_____
2
​a​ ​
2
= ​a​__​2​​ 
​a​ ​
2
5
(definitie sinus en cosinus van een scherpe hoek)
2
(stelling van Pythagoras)
6
= 1
Copyright
4.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek
115
Zoekwerk 3
1
We zoeken een verband tussen sin a, cos a en tan a.
Voorbeeld 1
  = 90° en ​ B​
  = 54,2°
DABC met ​ A​
sin 54,2°
​ = Bereken: ________
​ 
 
cos 54,2°
403
B
54,2°
tan 54,2° = Herhaal dit voor C​
​  .
Wat stel je vast?
A
C
2
Voorbeeld 2
Kies de grootte van een scherpe hoek a.
sin a ​ 
en tan a.
Bereken ​ _____
cos a 
Kom je tot hetzelfde besluit?
3
EIGENSCHAP
In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek a geldt:
sin a 
_____
= tan a
​  
​  cos a
We bewijzen deze eigenschap.
4
Gegeven:
  = 90°
DABC met ​ A​
scherpe hoek a
sin a ​  
= tan a
Te bewijzen:​ _____
cos a 
Bewijs:
5
B
α
c
a
A
b
  = 90°:
In DABC met ​ A​
b
_
sin a 
a​   ​ ​  
__
​ _____
​
= ​ 
 
(definitie sinus en cosinus van een scherpe hoek)
cos a _​  c ​
a
6
116
= ​ _ab ​ ∙ ​a_c ​ 
= ​b_c ​ 
= tan a
(definitie tangens van een scherpe hoek)
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
C
Opdrachten
13
Als cos a = ​2_ ​, bereken dan sin a en tan a zonder rekenmachine.
3
1
2
14
3
Als tan a = ​3_ ​, bereken dan sin a en cos a zonder rekenmachine.
4
4
5
6
Copyright
4.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek
117
Samenvatting
DEFINITIES
1
In een rechthoekige driehoek is:
C
de overstaande rechthoekszijde
 ​
•de sinus van een scherpe hoek = ​_________________________
   
  
de schuine zijde
​| AC |​
  = ​ ____
​
sin ​ B​
 
|​ BC |​
de aanliggende rechthoekszijde
 ​
•de cosinus van een scherpe hoek = ​_________________________
   
  
de schuine zijde
2
|​ AB |​
  = ​ ____
​ 
cos ​ B​
 
|​ BC |​
A
de overstaande rechthoekszijde
•de tangens van een scherpe hoek = ​ _________________________
   ​
de aanliggende rechthoekszijde
 AC |​
  = ​​|____
tan ​ B​
 ​ 
|​ AB |​
EIGENSCHAPpen
3
In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek a geldt:
•si​n2​​ a + co​s​2​ a = 1
(hoofdformule van de goniometrie)
sin a 
•_____
​  cos a
​  
= tan a
4
Goniometrische getallen zonder rekenmachine
5
6
118
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
B
4.2Toepassingen
4.2.1 Oplossen van een rechthoekige driehoek
1
Als we van een rechthoekige driehoek een zijde en een scherpe hoek of twee zijden kennen,
kunnen we de andere zijde(n) en hoek(en) berekenen.
Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken moet je de ontbrekende elementen berekenen.
Hierbij gebruik je de metrische eigenschappen in een rechthoekige driehoek en de goniometrische getallen van een scherpe hoek.
Voorbeeld 1
B
  = 90°
Gegeven:
DABC met ​ A​
  = 23° en ​| AB |​ = 20
​ B​
2
23°
20
 , |​ AC |​en |​ BC |​
Gevraagd:​ C​
Geef je resultaat op 0,01 nauwkeurig.
A
C
Oplossing:
3
In DABC met A​
​   = 90°:
  = 90°
  + ​ C​
​ B​
  = 90°
23° + ​ C​
  = 67°
​ C​
​| AC |​
tan 23° = ​____ ​ 
20
​| AC |​ = 20 ∙ tan 23°
20 ​ 
cos 23° = ​ ____
|​ BC |​
20  ​ 
|​ BC |​ = ​ _______
cos 23°
= 21,73
= 8,49
4
Je kunt je oplossing steeds controleren met een niet-gebruikte eigenschap of definitie.
 :
Bereken C​
​   met tan ​ C​
Controleer met de stelling van Pythagoras:
20  
  = ​ ____
tan ​ C​
​ = 2,36
8,49
​​| AB |2​ ​ + ​​| AC |2​ ​ = 2​0​2​ + 8,4​9​2​ = 472,08
  = 67°
​ C​
_
​ 472,08 ​ 
= 21,73 = ​| BC |​
√
5
Omdat je hier in je controle rekent met afgeronde getallen, kunnen je resultaten kleine afwijkingen hebben.
6
Copyright
4.2 Toepassingen
119
Voorbeeld 2
R
  = 90°
Gegeven:
DPQR met ​ P​
| PQ |​ = 8 en ​| QR |​ = 10
​
1
10
  en R​
| PR |​, ​ Q​
Gevraagd:​
​  
Geef je resultaat op 0,01 nauwkeurig.
Q
Oplossing:
In DPQR met P​
​   = 90°:
2
1​02​ ​ = ​8​2​ + ​​| PR |2​ ​ (stelling van Pythagoras)
1​02​ ​ − ​8​2​ = ​​| PR |2​ ​
8 ​ 
  = ​ __
cos ​ Q​
10
​    = 36,87°
Q​
_
​| PR |​ = ​√36 ​ 
= 6
3
8 ​ 
  = ​ __
sin ​ R​
10
​    = 53,13°
R​
Controle:
4
Bereken de som van de scherpe hoeken:
  + ​ R​
  = 36,87° + 53,13° = 90°
​ Q​
 :
Bereken Q​
​    met tan ​ Q​
_ ​
  = ​6
tan ​ Q​
8
​    = 36,87°
Q​
5
Elementaire opdrachten over het oplossen van rechthoekige
driehoeken vind je in het bestand ‘404 oplossen van rechthoekige
driehoeken’.
6
120
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
8
P
Opdrachten
404
15
  = 90°.
Bereken de ontbrekende zijden en hoeken van DABC met ​ A​
Rond indien nodig af op 0,1 nauwkeurig.
​| BC |​
a
b
c
3,6 m
d
16
​| AC |​
4,2 m
1,6 m
3m
|​ AB |​
35 m
1
C​
​   
 
​ B​
50°
12,5°
4m
2
A
Gegeven:
DABC is gelijkzijdig
DE ^ CB en ​| DB |​ = 5
Bereken ​| EB |​.
D
5
C
B
E
3
4
17
  = 90°, ​
Gegeven:
DABC, ​ A​
B ​  = 40°, ​| BC |​ = 5 m
Bereken op 1 cm nauwkeurig:
a
|​ AB |​en |​ AC |​
b
​| AH |​
c
​| BH |​en |​ CH |​
B
H
A
5
C
6
Copyright
4.2 Toepassingen
121
18
Bereken op 1 mm nauwkeurig de straal van de cirkel
met middelpunt O.
A
4 cm
1
55°
C
O
B
2
19
3
Onderzoek of de volgende uitspraak waar is in DACM
​    = 90°.
met A​
_ |​​  AC |​.

 ​ ​ = 30°, dan is ​| AB |​ = ​1
Als ​​ M​ ​1​ = 15° en ​​ M​
2
2
C
B
2
1
A
M
4
20
5
A
In gelijkbenige DABC is tophoek A​
​  gelijk aan 48° en de basis 36 m.
Bereken
a
de basishoeken van DABC
b
de lengte van de benen op 1 cm nauwkeurig
c
de hoogte uit de top op 1 cm nauwkeurig
d
de oppervlakte op 1 c​m2​ ​ nauwkeurig
48°
C
Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken moet je een verklaring geven. Daarvoor moet je eigenschappen van driehoeken
kennen.
6
19 Gebruik de tangens van een hoek.
122
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
36 m
B
4.2.2Vraagstukken
Voorbeeld 1
1
In een smal steegje met een breedte van één meter staat een ladder
tegen een muur. De ladder is 3,6 m lang.
Om stevig te staan, moet de ladder een hoek tussen 70° en 75° vormen met de grond.
Kan deze ladder veilig geplaatst worden?
Op welke hoogte steunt de ladder tegen de muur?
2
Gegeven:
​   = 90°:
DABC met A​
| AB |​ = 1 m en ​| BC |​ = 3,6 m
​
C
 en |​ AC |​
Gevraagd:​ B​
3,6 m
Oplossing:
3
  = 90°:
In DABC met ​ A​
1   ​
  = ​ ___
cos ​ B​
3,6
​    = 73,87°
B​
De ladder kan veilig geplaatst worden.
B
3,​6​2​ = ​1​2​ + ​​| AC |2​ ​
1m
(stelling van Pythagoras)
A
3,​62​ ​ − 1 = ​​| AC |2​ ​
_
​| AC |​ = ​√3,​6​2​ − 1 ​ 
4
= 3,5
De ladder steunt op een hoogte van 3,5 m tegen
de muur.
Controle:
​| AC |​
tan 73,87° = ​____
 ​
  
1
| AC |​ = 1 ∙ tan 73,87°
​
5
= 3,5
Bij het oplossen van oefeningen gebruik je best zo veel mogelijk
de gegevens en niet de berekende waarden. Zo voorkom je dat je
met een fout resultaat verder werkt.
6
Copyright
4.2 Toepassingen
123
Voorbeeld 2
Een piramide heeft als grondvlak een vierkant
met een zijde van 12 cm en de hoogte is 8 cm.
1
T
Bereken a op 0,01° nauwkeurig.
C
8 cm
D
S
2
12 cm
B
Oplossing:
α
A
•We berekenen​| AS |​.
​| AS |​ = ​1_ ​ |​  AC |​
2
T
(diagonalen-kenmerk
parallellogram ABCD)
In DABC met B​
​   = 90°:
3
C
)
​( stelling van Pythagoras  ​
​​| AC |​ ​ = 1​2​2​ + 1​2​2​
2
_
​| AC |​ = ​√288 ​ 
8 cm
S
_
​| AS |​ = ​1_ |​​  AC |​ = ​1_ ​​√288 ​  = 8,48... ® A
2
2
α
12 cm
B
A
T
•We berekenen a.
4
D
In DAST met 
​S ​  = 90°:
8 ​ 
tan a = ​ __
A
C
a = 43,31°
S
B
5
8 cm
12 cm
6
124
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
D
α
A
Opdrachten
21
1
In ruit ABCD is |​ AC |​ = 14 cm en ​| BD |​ = 32 cm.
Bereken de hoeken van de ruit en de lengte van de zijde op 0,1 nauwkeurig.
2
3
4
22
Welk punt ligt het dichtst bij de rechte a?
A
B
5 cm
3,4 cm
30°
20°
a
5
6
Copyright
4.2 Toepassingen
125
23
1
Een vliegtuig vliegt naar C. In A merkt de piloot dat
hij niet genoeg brandstof heeft. Hij moet een
tussenlanding maken in B om te gaan tanken.
De piloot wijkt hiervoor 20° af van zijn koers.
B ligt op 870 km van A.
Tijdens de tussenstop berekent hij dat hij nog
1 300 km moet vliegen om C te bereiken.
A
C
20º
870 km
1 300 km
B
Hoeveel kilometer heeft de piloot nu meer gevlogen dan oorspronkelijk gepland?
2
3
4
5
Bij berekeningen rond je enkel het eindresultaat af. Tussenresultaten kun je eventueel opslaan in je rekenmachine en opvragen als
je ze nodig hebt.
Het rekenen met afgeronde getallen kun je ook vermijden door je
rekenmachine pas op het einde van de oefening te gebruiken.
6
126
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
24
Bereken, op 1 m​m​3​nauwkeurig, de inhoud van de kegel
die je krijgt door de rechthoekige DABC te laten wentelen.
a
b
25
B
6 cm
om AB
om AC
A
(  )
Een balk ​            
​  EFGH 
 ​  ​ is 8 m breed, 11 m diep en 6 m hoog.
ABCD
1
40º
G
C
H
Bereken a.
E
F
C
6m
B
2
D
α
11 m
A
8m
3
4
26
Je zwemt een kanaal over en je maakt daarbij een hoek van 41° met de oever.
Het kanaal is 20 m breed.
Hoeveel meter moet je zwemmen om de andere oever te bereiken?
27
Op een afstand van 125 m zie je, recht voor je uit kijkend,
de voet van een toren.
Kijk je onder een hoek van 22° naar boven, dan zie je de top.
Bereken, op 0,1 m nauwkeurig, de hoogte van deze toren.
5
6
Copyright
4.2 Toepassingen
127
28
Een vliegtuig vliegt op een hoogte van 10 km.
Als je weet dat de dalingshoek 3° is, hoe ver van
de landingsplaats moet dan de piloot de landing
inzetten?
29
Een lichtstraal die schuin in het water invalt, ondergaat een
1
2
3
breking die in de volgende formule uitgedrukt wordt:
sin a
_____
 
 ​  
= ​4_ ​. Een lichtstraal die loodrecht invalt, treft de bodem
​
sin b 3
in een punt P.
Op welke afstand van P treft de lichtstraal de bodem, als de
invalshoek a gelijk is aan 30° en het water 1 m diep is?
Werk op 1 cm nauwkeurig.
4
5
30
In ruit ABCD is de hoek A​
​  gelijk aan 40° en de zijde 10 m.
Bereken de lengte van de diagonalen op 1 cm nauwkeurig.
31
In de kamer van Fran staat het bed op 80 cm
van de deur.
De deur is 1 m breed. Om een goede doorgang
te hebben, moet de deur minstens 62° open
kunnen staan. Is dit mogelijk?
α
β
Q
6
128
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
80 cm
de
u
1m r
P
32
Bereken de oppervlakte van parallellogram ABCD
op 0,01 nauwkeurig.
A
B
60°
5
D
8
1
C
2
3
33
Bereken op 1 c​m​2​nauwkeurig de oppervlakte van een gelijkbenige DABC waarvan de
tophoek gelijk is aan 62° en de hoogte op de basis 3 m.
34
Een kraanmachinist moet een big bag plaatsen op een toren in opbouw.
De toren is nu 6 m hoog. De onderkant van de big bag hangt
1,66 m onder de top van de kraanarm.
De kraanarm heeft een lengte van 10 m en is op
de wagen bevestigd op 2 m boven de grond.
Hoe groot is de kleinste hoek die de kraanarm
moet maken om de big bag nog op de toren te
kunnen leggen?
35
4
Kapers gaan een schip enteren. Daarvoor willen ze kettingen
afschieten zodat de masten van het kleinere schip vernield
worden, maar de romp en de lading intact blijven.
Met kettingen hebben de kanonnen maar een bereik van
100 m. De man in het kraaiennest weet dat hij 50 m boven de
waterlijn zit. Hij ziet het schip naderen onder een hoek van
30°. Kunnen ze nu het schip raken?
5
6
Copyright
4.2 Toepassingen
129
36
1
Tijdens een citytrip naar Parijs logeer je in een hotel
met zicht op de Eiffeltoren. Vanuit je venster op de
zesde verdieping, 21 m hoog, kijk je onder een hoek
van 56,6° naar de top en onder een hoek van 6° naar de
voet van de toren.
Vul de tekening aan en bereken de hoogte van de
Eiffeltoren.
Eiffeltoren
2
3
4
5
37
6
Aan de rand van een slotgracht zie je de top van een toren onder een hoek van 76°.
Ga je 60 m achteruit, dan zie je de top onder een hoek van 34°.
a
Hoe breed is de slotgracht?
b
Hoe hoog is de toren?
22 Duid de afstanden aan op de tekening.
24 ​Ikegel
​ ​ = ​1_ ​p​r2​ ​h
3
28 De dalingshoek is de hoek die gevormd wordt met een horizontale lijn.
130
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
Herhaling: voor wie iets meer wil
38
a is een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek.
Vul de tabel in en rond de getallen af op 0,001 en de hoeken op 0,1 nauwkeurig.
sin a
a
60°
cos a
0,568
tan a
0,976
72,4°
39
1
2
Hoeveel m2 dakbedekking is er nodig om het dak te vernieuwen van een huis van
12 m breed en 8 m diep?
40°
40 °
3
8m
40
Een biljarttafel is 285 cm
bij 142,5 cm.
Een biljartbal wordt zonder effect van het punt A
naar het punt B gespeeld.
Welke afstand heeft de
biljartbal afgelegd?
4
36,5 cm
40°
A
B
75 cm
5
41
42
Een ladder van 6,5 m staat tegen een muur. De voet van de ladder is op 1,5 m van de
muur geplaatst.
Welke hoek vormt de ladder met de muur en op welke hoogte steunt de ladder tegen
de muur?
Bereken op 0,1 nauwkeurig.
6
De omtrek van een ruit is 26,4 m. Eén van de diagonalen is 2,5 m.
Bereken de hoeken van de ruit op 0,1° nauwkeurig.
Copyright
Herhaling: voor wie iets meer wil
131
43
1
44
2
Een piloot begint aan een vlucht van 2 500 km
(van A naar C). Hij moet uitwijken naar B om te
gaan tanken. Hij wijkt hiervoor 20° af van zijn
koers. Aangekomen in B, stelt de piloot vast dat
hij 870 km gevlogen heeft.
Hoeveel km moet hij nog vliegen om in C aan te
komen?
2 500 km
A
B
Bereken de hoeken op 1° en de afstanden op 0,1 nauwkeurig.
 en C​
A​
​   , ​ B​
​   
b
 ​ ​en Q​
​​   ​ ​, ​​ Q​
Q​
​​   ​ ​
c
​| QA |​, ​| QB |​en |​ QC |​
1
2
Q
2
a
1
3
3
C
B
A
45
In 1960 werden op het kanaal Brussel – Charleroi
55 sluizen vervangen door 10 sluizen en het hellend vlak
van Ronquières.
Het hellend vlak overbrugt een afstand van 1 432 m en
heeft een hellingshoek van 2,72°.
Wat is het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt?
46
Een cilindervormige waterton met diameter
70 cm en een hoogte van 1 m is volledig gevuld.
Omdat de ton te zwaar is om te verplaatsen,
kantelen we ze over 35° zodat er water wegloopt.
Hoe hoog staat het water in de gekantelde ton?
3
C
20º
870 km
2
P
4
A
B
4
1m
D
70 cm
35º
C
47
5
Toon met de figuur aan.
a
b
c
48
6
132
_
√ 2 ​ 
​___
B
sin 45° = ​  ​  
2_
√ 2 ​ ​   
cos 45° = ​​___
2
tan 45° = 1
45º
A
a en b zijn de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek en sin a = ​1_ ​.
2
Bereken zonder rekenmachine.
a
cos a en tan a
b
sin b, cos b en tan b
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
C
49
Duid de juiste antwoorden aan.
|​ CD |​is gelijk aan
C
B
60º
40º
a
cos 40° ∙ cos 30°
1
1
b cos 30°
​_______​ 
cos 40°
c
30º
50º
1 
_____________
​   
​
D
A
cos 40° ∙ cos 30°
d cos 50°
​_______​ 
cos 30°
50
51
2
Stel: op de Noordpool en Zuidpool
N
staan twee telescopen opgesteld en
0,94°
ze zijn beide op dezelfde maankrater
6 357 km
gericht. Op een zeker moment
A
M
‘kijken’ ze allebei onder een hoek van
0,94° naar deze krater. De ‘polar
0,94°
radius’ is de afstand tussen het
Z
centrum van de aarde en de Noorden Zuidpool en bedraagt 6 357 km.
Hoe groot is de afstand van de maankrater tot het middelpunt van de aarde?
DABC is gelijkbenig met tophoek A​
Gegeven:
​   = 30°
| AB |​ = ​| AC |​ = 8 m
​
Z is het zwaartepunt
3
A
30°
| CZ |​op 0,1 m nauwkeurig
Gevraagd:​
4
8m
Z
C
52
Bereken |​ BC |​op 0,1 m nauwkeurig.
B
B
5
Q
5m
A
38º
P
C
6
Copyright
Herhaling: voor wie iets meer wil
133
Junior Wiskunde Olympiade
1
In dit parallellogram, dat tevens een ruit is, meet de langste
diagonaal 40 en de hoogte 24.
Bepaal de lengte van de andere diagonaal.
A 28
2
B 30
C 32
40
D 34
E 36
In de rechthoekige driehoek ABC is |​ AB |​ = 4 en CD en EF
staan loodrecht op AB en DE staat loodrecht op AC.
De lengte van ​[ EF ]​is gelijk aan
B
3
4
B 4 si​n3​​ a ∙ cos a
C 4 si​n​2​ a ∙ co​s​2​ a
DABC met B​
​   = 90° , ​| AB |​ = 15​ cm
en ​| BC |​ = 30 cm
In deze driehoek wordt een vierkant ingeschreven zoals in de figuur. Hoe lang is de
zijde van dit vierkant?
D
F
α
A
A 4 si​n4​​ a
24
C
E
D 4 sin a ∙ co​s​3​ a
E 4 co​s​4​ a
A
15 cm
C
B
30 cm
A 8 cm
4
B 9 cm
C 10 cm
D 12 cm
Bepaal de oppervlakte van het parallellogram
in de figuur.
E 13 cm
3
45º
_
4√2
8
135º
_
3√ 2
A 18
134
B 20
C 24
D 25
E 28
Copyright
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
5
De hoogtelijn verdeelt de rechte hoek van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 3
en 4 in twee hoeken a en b. Dan is cos a + cos b gelijk aan
_
_
√ 2 ​ 
A ​
6
√ 3 ​  + 1
​______
 ​
B ​
 
 
2
C 1,2
D 1,25
Een 30° − 60° − 90° driehoek met schuine zijde
1 wentelt om het hoekpunt van de kleinste hoek.
Hierdoor beschrijven de andere twee hoekpunten
twee concentrische cirkels.
E 1,4
1
Wat is de oppervlakte van de ring?
_
​ 3 ​ ​   
___
cos 30° = ​√
2
A 1
p
__ ​  
B ​
2
p
__ ​  
C ​
3
p
__ ​  
D ​
4
p ​  
__
E ​
6
4
Copyright
Junior Wiskunde Olympiade
135
Copyright